Question

5.Прямоугольник, стороны которого равны 6см и 4см, вращается около меньшей стороны. Найдите площадь полной поверхности тела вращения и объем.

Answer 1

Телом вращения будет цилиндр с высотой $h = 4$ см и радиусом $R = 6$ см (см. вложение).

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из двух площадей основания $S_{\text{o}}$ и площади боковой поверхности $S_{\text{b}}$:

$S = 2S_{\text{o}} + S_{\text{b}} = 2\pi R^{2} + 2\pi Rh = 2\pi R(R + h) = 2\pi \cdot 6 \cdot (6+ 4) = 120\pi$ см².

Объем $V$ цилиндра можно найти по формуле:

$V = S_{\text{o}}h = \pi R^{2}h = \pi \cdot 6^{2} \cdot 4 = 144\pi$ см³.

Ответ: $120\pi$ см², $144\pi$ см³.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулами для площади поверхности тела вращения и объема.

Площадь поверхности тела вращения в данном случае будет равна сумме площадей двух цилиндров, полученных в результате вращения прямоугольника вокруг меньшей стороны.

1. Цилиндр, образованный вращением более длинной стороны (6 см): Радиус цилиндра равен половине длины стороны 6 см, то есть 6/2 = 3 см. Высота цилиндра равна длине стороны 4 см. Тогда площадь боковой поверхности цилиндра равна 2 * π * радиус * высота = 2 * 3.14 * 3 * 4 = 75.36 см².

2. Цилиндр, образованный вращением более короткой стороны (4 см): Радиус цилиндра равен половине длины стороны 4 см, то есть 4/2 = 2 см. Высота цилиндра равна длине стороны 6 см. Тогда площадь боковой поверхности цилиндра равна 2 * π * радиус * высота = 2 * 3.14 * 2 * 6 = 75.36 см².

Таким образом, площадь полной поверхности тела вращения будет равна сумме площадей двух цилиндров: 75.36 см² + 75.36 см² = 150.72 см².

Объем цилиндра, образованного вращением более длинной стороны (6 см): Объем цилиндра равен π * радиус² * высота = 3.14 * 3² * 4 = 113.04 см³.

Объем цилиндра, образованного вращением более короткой стороны (4 см): Объем цилиндра равен π * радиус² * высота = 3.14 * 2² * 6 = 75.36 см³.

Таким образом, объем полного тела вращения будет равен сумме объемов двух цилиндров: 113.04 см³ + 75.36 см³ = 188.4 см³.