Question

1. Докажите, что при бросании двух кубиков события «На первом кубике выпало 4» и «На втором кубике выпало больше 3» независимы.

Answer 1

Зависимые события - это когда одно событие произойдет только тогда, когда произойдет другое. Например, снег пойдет только тогда, когда похолодает - это зависимые события. Шанс выпадения чисел на разных кубиках друг от друга зависеть не будет в любом случае, поэтому они независимы.

Answer 2

Для доказательства независимости двух событий, нужно показать, что вероятность одного события не зависит от наступления другого события. Давайте рассмотрим каждое событие по отдельности.

Событие A: На первом кубике выпало 4. Пусть P(A) обозначает вероятность события A. В данном случае, поскольку у нас обычный игральный кубик, на каждой грани выпадает одно из шести чисел (от 1 до 6) с равной вероятностью. Таким образом, P(A) равно вероятности выпадения числа 4, что составляет 1/6 (так как есть только одна грань с числом 4 из шести возможных граней).

Событие B: На втором кубике выпало больше 3. Аналогично, поскольку у нас обычный игральный кубик, на каждой грани выпадает одно из шести чисел (от 1 до 6) с равной вероятностью. В данном случае, числа больше 3 на втором кубике могут быть 4, 5 или 6. Таким образом, P(B) равно вероятности выпадения чисел 4, 5 или 6 на втором кубике, что составляет 3/6 или 1/2 (так как есть три грани с числами больше 3 из шести возможных граней).

Теперь давайте рассмотрим оба события вместе и проверим их независимость.

Событие A и B: На первом кубике выпало 4 и на втором кубике выпало больше 3. Вероятность наступления события A и B одновременно можно рассчитать как произведение вероятностей каждого события в отдельности, так как мы предполагаем, что события независимы: P(A и B) = P(A) * P(B) = (1/6) * (1/2) = 1/12

Теперь сравним P(A и B) с P(A) * P(B): (1/12) ≠ (1/6) * (1/2)

Таким образом, вероятность события A и B не равна произведению вероятностей событий A и B в отдельности. Это означает, что события A и B не являются независимыми при бросании двух кубиков.

Таким образом, мы доказали, что события «На первом кубике выпало 4» и «На втором кубике выпало больше 3» не являются независимыми.