Question

При каком значении параметра a касательная к графику функции y=ax2+4x+3 в точке x=2 образует с осью x угол 135°?

Answer 1

Имеем квадратичную функцию $y =ax^{2} + 4x + 3$

Воспользуемся геометрическим смыслом производной: производная $f'(x_{0})$ в точке с абсциссой $x_{0}$ функции $f(x)$ численно равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к данной точке.

Найдем производную функции $y =ax^{2} + 4x + 3$:

$y' = 2ax + 4$

Найдем значение производной в точке с абсциссой $x_{0} = 2$:

$y'_{0} = 2a \cdot 2 + 4 = 4a + 4$

Используем геометрический смысл производной: $y'_{0} = \text{tg} \, \alpha$

$4a + 4 = \text{tg} \, 135^{\circ}$

$4a+ 4 = -1$

$4a = -5$

$a = -\dfrac{5}{4} = -1,25$

Таким образом, если $a = -1,25$ касательная к графику функции $y =ax^{2} + 4x + 3$ в точке $x_{0} = 2$ образует с осью x угол $135^{\circ}.$

Ответ: $a = -1,25$

Answer 2

Для определения значения параметра a, при котором касательная к графику функции $y = ax^2 + 4x + 3$ в точке $x = 2$ образует угол 135° с осью x, нужно рассмотреть два факта:

1. Касательная к графику функции $y = ax^2 + 4x + 3$ в точке $x = 2$ имеет угловой коэффициент, равный $a$. Это следует из того, что угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ для функции $y = f(x)$ равен $f'(x_0)$.

2. Угол между касательной к графику функции и осью x вычисляется с помощью арктангенса углового коэффициента.

Теперь давайте приступим к решению:

1. Найдем производную функции $y = ax^2 + 4x + 3$:

$y' = 2ax + 4$

2. Вычислим угловой коэффициент касательной в точке $x = 2$:

$a = y'(2) = 2 \cdot a + 4$

3. Решим уравнение относительно параметра $a$:

$2a + 4 = a$

$2a = -4$

$a = -2$

Таким образом, при $a = -2$ касательная к графику функции $y = ax^2 + 4x + 3$ в точке $x = 2$ образует угол 135° с осью x.