Question

Сколько существует четырехзначных чисел, в которых каждая участвующая в записи цифра встречается нечетное количество раз?

Answer 1

Так как всего цифр в числе 4, то в нем могут быть две различные цифры (одна повторяется три раза, а другая один раз) или четыре различные цифры.

Первый вариант. В числе только две различные цифры: одна повторяется три раза, а другая один раз.

На первое место мы можем поставить любую цифру, кроме нуля - 9 вариантов. В качестве другой цифры этого числа можно использовать любую, кроме уже использованной - 9 вариантов. Поскольку уникальная цифра может стоять на любой из 4 позиций, то общее число таких чисел: $9\cdot9\cdot4=324$

Второй вариант. В числе четыре различные цифры.

На первое место мы можем поставить любую цифру, кроме нуля - 9 вариантов. На второе место - любую, кроме использованной на первом шаге - 9 вариантов. На третье место - любую, кроме использованных двух - 8 вариантов. На четвертое место - любую, кроме использованных трех - 7 вариантов. Общее число таких чисел: $9\cdot9\cdot8\cdot7=4536$

Итого: чисел удовлетворяющих условию: $324+4536=4860$

Ответ: 4860

Answer 2

Чтобы найти количество четырехзначных чисел, в которых каждая участвующая цифра встречается нечетное количество раз, давайте рассмотрим каждую позицию числа отдельно.

1. Первая цифра: В четырехзначных числах первая цифра не может быть нулем, поэтому у нас 9 вариантов выбрать первую цифру (от 1 до 9).

2. Вторая цифра: Поскольку каждая цифра должна встречаться нечетное количество раз, и мы уже использовали одну из цифр для первой позиции, у нас остается 8 возможных цифр для выбора второй цифры (0-9, исключая использованную ранее).

3. Третья цифра: Так как нам нужно, чтобы каждая цифра участвовала нечетное количество раз, и уже использовали две из них, у нас остается 7 возможных цифр для выбора третьей цифры (0-9, исключая использованные ранее).

4. Четвертая цифра: Наконец, у нас остается 6 возможных цифр для выбора четвертой цифры (0-9, исключая использованные ранее).

Теперь, чтобы найти общее количество четырехзначных чисел, удовлетворяющих условию, мы умножаем количество вариантов для каждой позиции:

Общее количество = 9 (варианты для 1-й цифры) × 8 (варианты для 2-й цифры) × 7 (варианты для 3-й цифры) × 6 (варианты для 4-й цифры) = 3024.

Таким образом, существует 3024 четырехзначных числа, в которых каждая участвующая цифра встречается нечетное количество раз.