Question

Найти длину дуги арки циклоиды x=4(t-sint) y=4(1-cost)

Answer 1

В уравнении циклоиды, вроде бы x=a(t-sin(t))?

Answer 2

Для того чтобы найти длину дуги арки циклоиды, нужно вычислить определенный интеграл длины кривой. Длина дуги кривой задается следующим выражением:

L = ∫[a, b] √(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 dt

где dx/dt и dy/dt - производные координат x и y по параметру t, a и b - начальное и конечное значения параметра t, соответственно.

Для нашей циклоиды у нас x = 4(t - sin t) и y = 4(1 - cos t). Теперь вычислим производные:

dx/dt = 4(1 - cos t) dy/dt = 4sin t

Теперь найдем длину дуги арки циклоиды:

L = ∫[a, b] √(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 dt L = ∫[a, b] √((4(1 - cos t))^2 + (4sin t)^2) dt L = ∫[a, b] √(16(1 - cos t)^2 + 16sin^2 t) dt L = ∫[a, b] √(16(1 - 2cos t + cos^2 t) + 16sin^2 t) dt L = ∫[a, b] √(16 - 32cos t + 16cos^2 t + 16sin^2 t) dt

Теперь воспользуемся тригонометрической тождеством sin^2 t + cos^2 t = 1:

L = ∫[a, b] √(16 - 32cos t + 16) dt L = ∫[a, b] √(32 - 32cos t) dt L = ∫[a, b] 4√(2 - 2cos t) dt

Теперь проведем замену переменных: u = 2 - 2cos t, du = 2sin t dt

L = ∫ 4√u du L = 4∫√u du L = 4 * (2/3) * u^(3/2)

Теперь подставим обратно u:

L = 4 * (2/3) * (2 - 2cos t)^(3/2)

Теперь остается только вычислить это выражение на интервале [a, b] (значения параметра t, для которых хотим найти длину дуги). Значения a и b зависят от выбранного диапазона t. После того, как определены a и b, подставьте их в выражение выше для L и вычислите значение.