Question

(xy^2- y^3)dx+(1-xy^2)dy = 0 помогите

Answer 1

Ответ: 1/2*x²-x*y-1/y=C, где C - произвольная постоянная.

Пошаговое объяснение:

Запишем данное уравнение в виде P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy=0, где P(x,y)=x*y²-y³, Q(x,y)=1-x*y². Так как dP/dy=2*x*y-3*y², а dQ/dx=-y², то dP/dy≠dQ/dx. Отсюда следует, что данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Но так как выражение (dP/dy-dQ/dx)/P(x,y)=2/y=u(y), то есть зависит только от y, то данное уравнение имеет зависящий только от y интегрирующий множитель M(y). Он находится по формуле: M(y)=e^[-∫u(y)*dy]. В нашем случае ∫(u(y)*dy=2*∫dy/y=2*ln/y/, поэтому M(y)=e^[-2*ln/y/]=1/y². Умножая исходное уравнение на M(y), получаем уравнение (x-y)*dx+(1/y²-x)*dy=P1(x,y)*dx+Q1(x,y)*dy=0. Теперь равенство dP1/dy=dQ1/dx=-1 выполняется, поэтому это уравнение уже является уравнением в полных дифференциалах. Запишем его в виде dz/dx*dx+dz/dy*dy=0, где z(x,y) - неизвестная пока функция. Тогда P1=dz/dx=x-y, Q1=dz/dy=1/y²-x. Интегрируя первое из этих уравнений, находим z(x,y)=1/2*x²-x*y+f(y), где f(y) - неизвестная пока функция. Дифференцируя z(x,y) по y и приравнивая полученное выражение к Q1(x,y), получаем уравнение f'(y)-x=-x+1/y². Отсюда f'(y)=1/y², и интегрируя это уравнение, находим f(y)=-1/y+C1, где C1 - произвольная постоянная. Тогда z(x,y)=1/2*x²-x*y-1/y+C1=C2, где C2 - также произвольная постоянная. Отсюда 1/2*x²-x*y-1/y=C, где C=C2-C1 - общий интеграл уравнения.  

Проверка: исходное уравнение можно записать в виде y'=dy/dx=(x*y²-y³)/(x*y²-1). Дифференцируя общий интеграл по x и учитывая, что y есть функция от x, получаем: x-y-x*y'+y'/y²=0. Отсюда y'*(1/y²-x)=y-x, или y'*(x-1/y²)=x-y. Тогда y'=(x-y)/(x-1/y²), и умножая числитель и знаменатель на y², получаем y'=(x*y²-y³)/(x*y²-1), что совпадает с исходным уравнением. Значит, общий интеграл уравнения найден верно.

Answer 2

Это дифференциальное уравнение первого порядка. Давайте попробуем найти его решение.

Для начала, давайте проверим, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах. Для этого найдем частные производные функции $M$ по $y$ и функции $N$ по $x$:

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2xy - 3y^2$ $\frac{\partial N}{\partial x} = -y^2$

Теперь вычислим вторую частную производную функции $M$ по $x$ и функции $N$ по $y$:

$\frac{\partial^2 M}{\partial x \partial y} = 2y$ $\frac{\partial^2 N}{\partial y \partial x} = -2y$

Уравнение является уравнением в полных дифференциалах, если $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$. В данном случае это не выполняется, так как $\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} = 2xy - 3y^2 + y^2 = 2xy - 2y^2$.

Так как уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, мы можем попытаться найти его решение, используя другие методы.

Давайте попробуем найти интегрирующий множитель для данного уравнения. Множитель - это функция $\mu(x, y)$, умножение на которую приводит данное уравнение к уравнению в полных дифференциалах.

Уравнение для нахождения множителя имеет вид: $\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{-N} = \frac{2xy - 2y^2}{y^2} = \frac{2x}{y} - 2$

Мы можем представить это выражение в виде производной логарифма неизвестной функции $\mu(x, y)$: $\frac{d}{dx}(\frac{1}{\mu(x, y)}) = \frac{2x}{y} - 2$

Чтобы упростить это уравнение, мы можем взять $\mu(x, y)$ в качестве экспоненты от обоих сторон:

$\mu(x, y) = e^{-\int (2x/y - 2)dx} = e^{-2x\ln|y| + 2x + C} = e^{2x(1-\ln|y|) + C}$

Где $C$ - произвольная постоянная.

Теперь, чтобы найти решение исходного дифференциального уравнения, мы можем умножить его на интегрирующий множитель:

$e^{2x(1-\ln|y|) + C}((xy^2 - y^3)dx + (1 - xy^2)dy) = 0$

Это уравнение можно решить с помощью интегрирования, используя методы, такие как метод разделения переменных или метод интегрирующего множителя.