Question

Среди студентов трёх групп была проведена одна контрольная робота. При этом в первой группе с 30 студентов 8 написали работу на "отлично", во второй, где 28 студентов, - 6 "отличных" работ, в третей, где 27 студентов, - 9 работ сделаны на "отлично". Первая выбранная случайная работа среди работ, что принадлежат группе, которая также выбрана случайно, оказалась "отличной". Какая вероятность того, что это работу написал студент третей группы?

Answer 1

Обозначим событие A – выбрана работа, выполненная на «отлично».

$H_1$ – выбрана работа из 1-й группы,

$H_2$ – выбрана работа из 2-й  группы,

$H_3$ – выбрана работа из 3-й группы

$P(H_1)=P(H_2)=P(H_3)=\dfrac{1}{3}$

Условные вероятности:

$P(A|H_1)=\dfrac{8}{30}=\dfrac{4}{15}\\ \\ P(A|H_2)=\dfrac{6}{28}=\dfrac{3}{14}\\ \\ P(A|H_3)=\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3}$

По формуле полной вероятности, вероятность события А:

$P(A)=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)+P(A|H_3)P(H_3)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{57}{70}=\dfrac{19}{70}$

По формуле Байеса, вероятность того, что эту работу написал студент третьей группы:

$P(H_3|A)=\dfrac{P(A|H_3)P(H_3)}{P(A)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}}{\dfrac{19}{70}}=\dfrac{70}{171}$

Ответ: 70/171.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу условной вероятности.

Пусть:

• A - событие, что выбрана работа из третьей группы (студент третьей группы написал работу).
• B - событие, что выбрана отличная работа.

Мы хотим найти вероятность P(A|B), то есть вероятность того, что работу написал студент третьей группы, при условии, что выбрана отличная работа.

Мы можем использовать формулу условной вероятности: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Теперь найдем значения вероятностей:

• P(A) - вероятность выбрать работу из третьей группы: $P(A) = \frac{\text{Количество студентов в третьей группе}}{\text{Общее количество студентов}} = \frac{27}{30 + 28 + 27} = \frac{27}{85}$.
• P(B) - вероятность выбрать отличную работу: $P(B) = \frac{\text{Количество отличных работ}}{\text{Общее количество работ}} = \frac{8 + 6 + 9}{30 + 28 + 27} = \frac{23}{85}$.
• P(A ∩ B) - вероятность выбрать отличную работу из третьей группы: $P(A \cap B) = \frac{\text{Количество отличных работ в третьей группе}}{\text{Общее количество работ}} = \frac{9}{30 + 28 + 27} = \frac{9}{85}$.

Теперь подставим значения в формулу условной вероятности: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{9}{85}}{\frac{23}{85}} = \frac{9}{23} \approx 0.3913$

Таким образом, вероятность того, что выбранная случайная работа была написана студентом третьей группы, составляет около 0.3913 или примерно 39.13%.