Question

Розвяжіть задачу Коші 2*(4y^2+4y-x)dy/dx=1, y(0)=0 Дуже важливо!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

Ответ:

Розвяжіть задачу Коші 2*(4y^2+4y-x)dy/dx=1, y(0)=0

Дуже важливо!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Звичайно, допоможу з вирішенням задачі Коші. По-перше, перепишемо задане диференціальне рівняння:

$2(4y^2 + 4y - x) \frac{{dy}}{{dx}} = 1$

Тепер ми можемо розділити змінні та знайти загальний розв'язок диференціального рівняння:

$2(4y^2 + 4y - x)dy = dx$

$2(4y^2 + 4y - x)dy - dx = 0$

Тепер інтегруємо обидві частини виразу:

$\int{2(4y^2 + 4y - x)dy} - \int{dx} = C$

де $C$ - довільна константа інтегрування.

Обчислимо інтеграли:

$\int{2(4y^2 + 4y - x)dy} = \int{(8y^2 + 8y - 2x)dy} = 8\int{y^2dy} + 8\int{ydy} - 2\int{xdy} = \frac{8}{3}y^3 + 4y^2 - x^2y + D_1$

де $D_1$ - ще одна константа інтегрування.

$\int{dx} = x + D_2$

де $D_2$ - константа інтегрування.

Тепер наше рівняння має вигляд:

$\frac{8}{3}y^3 + 4y^2 - x^2y + D_1 - x - D_2 = 0$

Щоб знайти значення констант $D_1$ і $D_2$, використаємо початкову умову $y(0) = 0$:

$\frac{8}{3}(0)^3 + 4(0)^2 - (0)^2(0) + D_1 - 0 - D_2 = 0$

$D_1 - D_2 = 0$

Звідси ми бачимо, що $D_1 = D_2$, тож можемо позначити цю константу як $D$.

Після підстановки константи в загальний розв'язок отримаємо:

$\frac{8}{3}y^3 + 4y^2 - x^2y + D - x = 0$

Це загальний розв'язок задачі Коші для заданого диференціального рівняння. Тепер, щоб знайти конкретний розв'язок з початковою умовою $y(0) = 0$, підставимо $x = 0$ і $y = 0$ у загальний розв'язок:

$\frac{8}{3}(0)^3 + 4(0)^2 - (0)^2(0) + D - 0 = 0$

$D = 0$

Отже, розв'язок задачі Коші з умовою $y(0) = 0$ має вигляд:

$\frac{8}{3}y^3 + 4y^2 - x^2y - x = 0$