Question

50 Баллов! Нужно разделить число (1! + 2! + 3! + ... + 100!)^2 на 5. Каков остаток? Ответ принимается только с пояснениями!

Answer 1

Ответ:4

Пошаговое объяснение: начиная от 5!, все факториалы делятся без остатка на 5 (и на 10). Поэтому выражение в скобках можно записать как 1!+2!+3!+4!+10*а, где а-натуральное число. Сумма первых четырёх факториалов это 1+2+6+24=33=3+10*3. Т.е. выражение в скобках принимает форму 10*b+3, где b- натуральное число (выражение в скобках даёт остаток 3 при делении на 5). Если ты возведёшь это в квадрат, то получишь 100b^2+60b+9. Первые два делятся без остатка на 5, а третий даёт остаток в 4. Т.о., остаток равен четырём.

Гг

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте разберемся, что такое число (1! + 2! + 3! + ... + 100!)^2 и как его можно упростить перед делением на 5.

1. Найдем сумму факториалов: 1! + 2! + 3! + ... + 100!

2. Возведем эту сумму в квадрат: (1! + 2! + 3! + ... + 100!)^2

3. Посмотрим на несколько первых элементов суммы: 1! = 1 2! = 2 * 1 = 2 3! = 3 * 2 * 1 = 6 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

4. Обратим внимание, что факториалы начиная с 5! содержат множители, которые делятся на 5 (5, 10, 15, 20, ...). При возведении таких чисел в квадрат получаем числа, которые делятся на 25. В числителе будут множители, которые содержат две степени 5.

5. Чтобы найти остаток от деления числа (1! + 2! + 3! + ... + 100!)^2 на 5, достаточно рассмотреть первые 4 факториала, которые не содержат множителей 5: 1! = 1 (остаток 1 при делении на 5) 2! = 2 (остаток 2 при делении на 5) 3! = 6 (остаток 1 при делении на 5) 4! = 24 (остаток 4 при делении на 5)

6. Найдем сумму квадратов этих остатков: 1^2 + 2^2 + 1^2 + 4^2 = 1 + 4 + 1 + 16 = 22

7. Таким образом, остаток от деления числа (1! + 2! + 3! + ... + 100!)^2 на 5 равен 2.