Question

СРОЧНО. ДАЮ 35 БАЛЛОВ В квадрат, сторона которого равна 32 см, вписан другой квадрат, вершины которого являются серединами сторон первого квадрата, в этот квадрат вписан таким же образом другой квадрат, и т. д. (см. рис.). Найди сумму площадей всех квадратов. Дополнительные вопросы: 1. сторона третьего по порядку квадрата равна... 2. Площадь наибольшего квадрата равна... 3. Знаменатель равен...

Answer 1

В основной квадрат (со стороной 32см) вписывается бесконечное количество последующих квадратов, сторона которых равна половине диагонали предыдущего.

Площадь первого равна 32*32 = 1024

Площадь второго равна $16\sqrt{2} *16\sqrt{2} =256*2 = 512$

Замечаем, что это убывающая геометрическая прогрессия , знаменатель которой равен 1/2

Сумму площадей всех последующих квадратов можно посчитать по формуле суммы бесконечно убывающей геом. прогрессии

$S=\frac{b_1}{1-q} = \frac{32*32}{1-\frac{1}{2} }=\frac{1024}{\frac{1}{2} } =2048$

сторона третьего квадрата равна $\frac{16\sqrt{2} }{\sqrt{2} } =16$ единиц

Наибольший квадрат - первый, и его площадь равна 32*32 = 1024 кв.ед

Знаменатель геом. прогрессии равен 1/2 или 0,5

Answer 2

Давайте рассмотрим рисунок и найдем решение шаг за шагом.

1. Сумма площадей всех квадратов: Пусть сторона первого (наружного) квадрата равна S1. Тогда сторона второго вписанного квадрата (серединного) будет равна S2 = S1/2, сторона третьего вписанного квадрата будет равна S3 = S2/2 = S1/2^2, и так далее.

Площадь каждого квадрата равна сторона, возведенная в квадрат: S1^2, S2^2, S3^2 и так далее. Сумма всех площадей равна сумме бесконечной геометрической прогрессии:

Сумма = S1^2 + S2^2 + S3^2 + ...

Формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии: Сумма = a / (1 - r),

где "a" - первый член прогрессии, "r" - знаменатель прогрессии.

Здесь первый член прогрессии a = S1^2, а знаменатель r = S2^2 / S1^2 = (S1/2)^2 / S1^2 = 1/4.

Таким образом, сумма площадей всех квадратов: Сумма = S1^2 / (1 - 1/4) = S1^2 / (3/4) = 4/3 * S1^2.

2. Сторона третьего по порядку квадрата: Мы знаем, что S3 = S1/2^2. Таким образом, сторона третьего квадрата S3 равна четвертой части стороны первого квадрата S1.

3. Площадь наибольшего квадрата: Площадь наибольшего квадрата будет равна S1^2, так как это первый (наружный) квадрат, и мы ищем его площадь.

Таким образом, ответы на дополнительные вопросы:

1. Сторона третьего по порядку квадрата равна S1/4.
2. Площадь наибольшего квадрата равна S1^2.
3. Знаменатель равен 1/4.