Question

У = x 3 - 3x 2 + 2 на проміжку [-1; 1].

Answer 1

Ответ:

M=2; m=-2

Пошаговое объяснение:

Скорее всего в этом задании нужно было бы найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x³-3x²+2 на отрезке [-1; 1].

Находим производную и приравниваем её к нулю:

3x²-6x=0; 3x(x-2)=0; x₁=0; x-2=0; x₂=2

Выбираем критические точки, принадлежащие отрезку [-1; 1]:

x₁∈[-1; 1]; x₂∉[-1; 1]

Вычисляем значение функции f(x) в критической точке и на концах интервала [-1; 1]:

y(-1)=(-1)³-3·(-1)²+2=-1-3+2=-2

y(0)=0³-3·0²+2=2

y(1)=1³-3·1²+2=1-3+2=0

Среди полученных значений наибольшее M=2, наименьшее m=-2.

Answer 2

Щоб знайти екстремуми (мінімуми та максимуми) функції У = x^3 - 3x^2 + 2 на проміжку [-1; 1], треба виконати декілька кроків:

1. Знайти похідну функції У за відношенням до x.
2. Вирішити рівняння похідної для знаходження критичних точок.
3. Використати тест на другу похідну, щоб з'ясувати, чи є ці точки мінімумами, максимумами або точками перегину.

Спочатку знайдемо похідну функції У за відношенням до x:

У' = d/dx (x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x.

Тепер знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння У' = 0:

3x^2 - 6x = 0.

Факторизуємо рівняння:

3x(x - 2) = 0.

Отримали два значення x: x = 0 та x = 2. Ці значення вказують на можливі мінімуми або максимуми функції У.

Тепер застосуємо тест на другу похідну. Друга похідна функції У:

У'' = d^2/dx^2 (x^3 - 3x^2 + 2) = d/dx (3x^2 - 6x) = 6x - 6.

Підставимо знайдені критичні точки, x = 0 та x = 2, у другу похідну:

У''(x=0) = 6(0) - 6 = -6 (від'ємне число, тому точка x = 0 є максимумом). У''(x=2) = 6(2) - 6 = 6 (додатнє число, тому точка x = 2 є мінімумом).

Таким чином, на проміжку [-1; 1] максимум функції У = x^3 - 3x^2 + 2 буде досягатися при x = 0, а мінімум - при x = 2.