Question

Посчитать определенный интеграл. Верхний интеграл 3, нижний 0. 1/(sqrt((x^2+3)^5)). Помогите!

Answer 1

$\int \dfrac{dx}{\sqrt{(x^2+3)^5}}=\Big[\; x=\sqrt3tgt\; ,\; dx=\frac{\sqrt3}{cos^2t}\, dt\; ,\; x^2+3=3\, tg^2t+3=\frac{3}{cos^2t}\; \Big]=\\\\\\=\int \dfrac{\sqrt3\, dt}{cos^2t\cdot \sqrt{\frac{3^5}{cos^{10}t}}}=\int \dfrac{cos^5t\, dt}{cos^2t}=\int cos^3t\, dt=\int cos^2t\cdot cost\, dt=\\\\\\=\int (1-sin^2t)\cdot d(sint)=\int d(sint)-\int sin^2t\cdot d(sint)=sint-\dfrac{sin^3t}{3}+C=$

$=sin(arctg\frac{x}{\sqrt3})-\dfrac{sin^3(arctg\frac{x}{\sqrt3})}{3}+C=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}-\dfrac{x^3}{3\, \sqrt{(x^2+3)^3}}+C\; ;\\\\\\\\\int\limits^3_0\, \dfrac{dx}{\sqrt{(x^2+3)^5}}=\Big(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}-\dfrac{x^3}{3\, \sqrt{(x^2+3)^3}}\Big)\Big|_0^3=\dfrac{3}{\sqrt{12}}-\dfrac{27}{36\sqrt{12}}=\\\\\\=\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt3}{8}=\dfrac{3\sqrt3}{8}$

Answer 2

Для вычисления данного определенного интеграла можно воспользоваться заменой переменной. Попробуем заменить $x$ на $t = x^2 + 3$. Тогда $dx = dt/(2x)$. Заменим пределы интегрирования:

При $x = 0$, $t = 0^2 + 3 = 3$. При $x = 3$, $t = 3^2 + 3 = 12$.

Теперь интеграл принимает следующий вид:

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{(x^2 + 3)^5}} dx = \frac{1}{2} \int_{3}^{12} \frac{1}{t^{5/2}} dt$

Теперь проинтегрируем:

$\frac{1}{2} \int_{3}^{12} t^{-5/2} dt = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^{-3/2}}{-3/2} \right]_{3}^{12}$

$= - \frac{2}{3} \left( \frac{1}{\sqrt{12^3}} - \frac{1}{\sqrt{3^3}} \right) = - \frac{2}{3} \left( \frac{1}{4\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}} \right) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{12\sqrt{3}} = - \frac{1}{18\sqrt{3}}$

Таким образом, значение определенного интеграла $\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{(x^2 + 3)^5}} dx$ равно $-\frac{1}{18\sqrt{3}}$.