Question

Помогите пожалуйста cosx-cosy=Кореньиз 2 x+y=число п Это система уравнений

Answer 1

x-y=П

cosx-cosy=√2

Выразим x:

x=П+y

Подставим во второе уравнение то, что получилось за место x

cos(П+y)-cosy=√2

По тригонометрической формуле преобразуем cos(П+y):

cos(П+y) = cosП*cosy-sinП*siny=-1 * cos y - 0*siny=-cosy

Подставим в cos(П+y)-cosy=√2:

-cosy-cosy=√2

-2cosy=√2

cosy=-√2/2

y=±arccos(-√2/2) +2Пk; k∈Z

y=±3П/4 + 2Пk; k∈Z

Не забудем про х!

х= П+3П/4=7П/4

х= П-3П/4=П/4

Ответ: (-3П/4; П/4) и (3П/4;7П/4)

Answer 2

Давайте решим эту систему уравнений. Исходные уравнения:

1. $\cos(x) - \cos(y) = \sqrt{2}$
2. $x + y = p$

Для начала, давайте рассмотрим первое уравнение:

$\cos(x) - \cos(y) = \sqrt{2}$

Мы знаем, что $\cos(x) - \cos(y) = -2 \sin\left(\frac{x + y}{2}\right) \sin\left(\frac{x - y}{2}\right)$. Таким образом, мы можем переписать уравнение:

$-2 \sin\left(\frac{x + y}{2}\right) \sin\left(\frac{x - y}{2}\right) = \sqrt{2}$

Теперь давайте рассмотрим второе уравнение:

$x + y = p$

Теперь мы можем решить второе уравнение относительно $y$:

$y = p - x$

Теперь подставим это значение $y$ в первое уравнение:

$-2 \sin\left(\frac{x + (p - x)}{2}\right) \sin\left(\frac{x - (p - x)}{2}\right) = \sqrt{2}$

$-2 \sin\left(\frac{p}{2}\right) \sin\left(\frac{2x - p}{2}\right) = \sqrt{2}$

Теперь мы можем разделить обе стороны на -2 и взять арксинус от обеих сторон:

$\sin^{-1}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{p}{2}\right) \sin\left(\frac{2x - p}{2}\right)\right)$

$-\frac{\pi}{4} = \frac{p}{2} - \frac{2x - p}{2} + 2\pi k$, где $k$ - целое число (из-за множественности обратных синусов)

$-\frac{\pi}{4} = \frac{p - 2x + p}{2} + 2\pi k$

$-\frac{\pi}{4} = \frac{2p - 2x}{2} + 2\pi k$

$-\frac{\pi}{4} = p - x + 2\pi k$

Теперь мы можем выразить $x$:

$x = p - \frac{\pi}{4} - 2\pi k$

Таким образом, решение системы уравнений будет:

$x = p - \frac{\pi}{4} - 2\pi k$

$y = p - x = p - (p - \frac{\pi}{4} - 2\pi k) = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Где $k$ - целое число.