Question

Розв’язати лінійне неоднорідне диференціальне рівняння 2-го порядкуx^4 y^'+y=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$x^4y'+y = 0\\x^4y' = -y\\x^4\frac{dy}{dx} = -y\\-\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x^4} \\-ln|y| = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C_{1}\\\\ln|y| = \frac{1}{3x^{3}} + C_{2}, C_{2} = -C_{1}\\|y| = C_{3}e^{\frac{1}{3x^{3}}}, C_{3} = e^{C_{2}}\\y = C_{4}e^{\frac{1}{3x^{3}}}, C_{4} = \pm C_3$

Answer 2

Для розв'язання лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку, яке має вигляд:

x^4 y'' + y = 0,

спробуємо знайти його загальний розв'язок. Це лінійне рівняння другого порядку, тому для його розв'язку знадобиться два лінійно незалежних розв'язки. Почнемо з виразу r^2 + 1 = 0, де r - це змінна, яку ми шукаємо.

r^2 + 1 = 0,

r^2 = -1.

Таким чином, маємо два комплексних корені: r₁ = i та r₂ = -i.

Загальний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння другого порядку можна записати у вигляді:

y(x) = C₁ * x^i + C₂ * x^(-i),

де C₁ і C₂ - це довільні сталі, а i - комплексна одиниця (i^2 = -1).

Але ми маємо ще одну умову відносно розв'язку, а саме, що x^4 y' + y = 0. Похідна від загального розв'язку дає:

y'(x) = C₁ * i * x^(i-1) + C₂ * (-i) * x^(-i-1).

Підставимо y'(x) у початкове рівняння:

x^4 (C₁ * i * x^(i-1) + C₂ * (-i) * x^(-i-1)) + C₁ * x^i + C₂ * x^(-i) = 0.

Послідовним спрощенням отримаємо:

C₁ * i * x^i + C₂ * (-i) * x^(-i) + C₁ * x^i + C₂ * x^(-i) = 0.

Об'єднаємо подібні доданки:

(C₁ + C₁) * x^i + (C₂ * (-i) + C₂) * x^(-i) = 0.

Скористаємося фактом, що це рівняння повинно виконуватися для будь-якого x, тобто коефіцієнти при x^i та x^(-i) повинні бути рівні нулю:

C₁ + C₁ = 2C₁ = 0 => C₁ = 0,

C₂ * (-i) + C₂ = 0 => C₂ * (1 - i) = 0.

Таким чином, ми отримали, що C₁ = 0. Щоб розв'язати для C₂, ми маємо одне рівняння:

C₂ * (1 - i) = 0.

Тут може бути два випадки:

1. C₂ = 0,
2. 1 - i = 0, що дає i = 1.

Отже, якщо i = 1, то C₂ може мати будь-яке значення, тобто розв'язок у вигляді:

y(x) = C₂ * x^(-i) = C₂ * x^(-1).

Загальний розв'язок диференціального рівняння 2-го порядку буде:

y(x) = C₂ * x^(-1),

де C₂ - це довільна стала.