Question

Помогите определить промежутки убывания и точки максимумаf(x)=-x^3+3x^2-4​

Answer 1

Найдём производную:

$f(x) = - {3}^{2} + 6x$

Теперь приравняем y=0

$y = 0 \\ - {3}^{2} + 6x = 0 \\ - 9 + 6x = 0$

Сократим на 3:

$- 3 + 3x = 0$

И решаем:

$3x = - 3 \\ x = - \frac{3}{ 3} \\ x = 1$

Таким образом:

x=0 или x=1

Находим наибольшее значение функции, подставляя значения 1 и 0 в изначальное выражение вместо x:

${1}^{3} + 3 \times {1}^{2} - 4 = 1 + 3 + 1 - 4 = 1 \\ {0}^{3} + 3 \times {0}^{2} - 4 = 3 - 4 = - 1$

Таким образом, мы получаем, что наибольшее значение функции будет в точке 1, а наименьшее в точке -1

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки убывания и точки максимума функции f(x) = -x^3 + 3x^2 - 4, нам следует выполнить несколько шагов:

1. Найдите первую производную функции f(x) по переменной x: f'(x) = -3x^2 + 6x.

2. Решите уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки: -3x^2 + 6x = 0. x(-3x + 6) = 0. Таким образом, x = 0 или x = 2.

3. Оцените знаки производной в интервалах между найденными критическими точками (и за пределами, если это необходимо), чтобы определить промежутки убывания и возрастания функции.

   a) Подставим x = -1 (любое значение между 0 и 2) в f'(x): f'(-1) = -3(-1)^2 + 6(-1) = -3 - 6 = -9 (отрицательное значение).

   b) Подставим x = 1 (любое значение меньше 2) в f'(x): f'(1) = -3(1)^2 + 6(1) = -3 + 6 = 3 (положительное значение).

   c) Подставим x = 3 (значение больше 2) в f'(x): f'(3) = -3(3)^2 + 6(3) = -27 + 18 = -9 (отрицательное значение).

   Таким образом, функция убывает на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞), и возрастает на интервале (0, 2).

4. Теперь оценим значения функции f(x) в найденных критических точках и на концах интервалов, чтобы найти точки максимума.

   a) f(0) = -(0)^3 + 3(0)^2 - 4 = -4. b) f(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 - 4 = 4.

Таким образом, точка максимума находится в точке (2, 4).

Итак, промежутки убывания: (-∞, 0) и (2, +∞), точка максимума: (2, 4).