Question

Дан конус, у которого площадь боковой поверхности равна 65π см2, площадь полной поверхности равна 90π см2. Найди радиус основания, высоту, образующую, площадь основания и объём конуса.

Answer 1

Решение:

Сначала распишем все формулы и тогда будем вычислять пошагово.

Формула площади боковой поверхности: $S = \pi\cdot R\cdot L$

Формула площади полной поверхности: $S = \pi R (R + L)$

Также формула площади полной поверхности: $S = \pi RL + \pi R^2$.

1) Площадь основания считается проще некуда, так как площадь полной поверхности - это сумма площади боковой поверхности и площади основания.

$90\pi - 65\pi = 25\pi$ cм².

2) Отсюда считаем радиус основания:

$S_{\circ} = \pi R^2\\\\R = \sqrt{\frac S\pi} = \sqrt{25} = 5$. Радиус основания конуса равен 5 см.

3) Вычисляем образующую:

$S = \pi R L = 65\pi\\\\RL = 65\\\\L = \frac{65}{R} = \frac{65}{5} = 13$ cм. Образующая равна 13 см.

4) Высоту вычислить ещё проще. Конус образуется вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета (высоты). Высоту можно было бы вычислить по теореме Пифагора, но в этом нет необходимости, так как в данном случае присутствует египетский треугольник с катетами 5 см и 12 см и гипотенузой 13 см (в данном случае гипотенуза это образующая). Высота равна 12 см.

5) Объём конуса вычисляется по формуле: $V_\Delta = \frac{\pi R^2 H}{3}$

В данном случае число $\pi$ мы трогать не будем, так как площади боковой и полной поверхностей представлены в форме с

$V_\Delta = \frac{\pi R^2H}{3} = \frac{25\cdot 12\cdot \pi}{3} = 25\cdot 4\cdot \pi = 100 \pi$ см³.

Answer 2

Для решения задачи о конусе с данными характеристиками, воспользуемся следующими формулами:

1. Площадь боковой поверхности конуса: S_b = π * r * l, где r - радиус основания, l - образующая (высота боковой стороны).

2. Площадь полной поверхности конуса: S_t = π * r * (r + l), где r - радиус основания, l - образующая (высота боковой стороны).

3. Объем конуса: V = (1/3) * π * r^2 * h, где r - радиус основания, h - высота.

4. Площадь основания конуса: S_o = π * r^2, где r - радиус основания.

Давайте найдем радиус основания и высоту конуса:

Из условия задачи, у нас есть: Площадь боковой поверхности (S_b) = 65π см^2 Площадь полной поверхности (S_t) = 90π см^2

Теперь можем составить систему уравнений:

Уравнение 1: S_b = π * r * l Уравнение 2: S_t = π * r * (r + l)

Подставим известные значения: 65π = π * r * l 90π = π * r * (r + l)

Теперь разделим второе уравнение на первое: (90π) / (65π) = (π * r * (r + l)) / (π * r * l)

Упростим: (90/65) = (r + l) / l

Теперь разрешим уравнение относительно l: (90/65) = (r + l) / l 90l = 65(r + l) 90l = 65r + 65l 90l - 65l = 65r 25l = 65r l = 65r / 25 l = 13r / 5

Теперь найдем значение радиуса (r). Для этого подставим выражение для l в первое уравнение: 65π = π * r * (13r / 5) Упростим и решим уравнение: 65 = 13r / 5 65 * 5 = 13r 325 = 13r r = 325 / 13 r = 25

Теперь, когда у нас есть значение радиуса (r), найдем значение высоты (h): l = 13r / 5 l = 13 * 25 / 5 l = 65

Таким образом, радиус основания (r) равен 25 см, высота (h) равна 65 см, а образующая (l) также равна 65 см.

Теперь найдем площадь основания (S_o) и объем (V) конуса:

Площадь основания (S_o) = π * r^2 S_o = π * (25)^2 S_o = π * 625 S_o = 625π см^2

Объем (V) = (1/3) * π * r^2 * h V = (1/3) * π * (25)^2 * 65 V = (1/3) * π * 625 * 65 V = (1/3) * π * 40625 V = 13541.67π см^3

Итак, площадь основания (S_o) равна 625π см^2, а объем конуса (V) равен приблизительно 13541.67π см^3.