Question

Знайти загальні і часткові розв’язки диференціальних рівнянь xdy=ydx

Answer 1

Часткові розв'язки немає, оскільки немає початкових умов.

Answer 2

Диференціальне рівняння xdy = ydx можна переписати у вигляді:

dy/y = dx/x

Тепер, щоб знайти загальні розв'язки, можемо інтегрувати обидві частини. При інтегруванні отримаємо:

∫(1/y) dy = ∫(1/x) dx

ln|y| = ln|x| + C, де C - це константа інтегрування.

Тепер можемо використати властивість логарифма:

ln|y| = ln|x| + C ln|y| - ln|x| = C

Застосуємо правило об'єднання логарифмів:

ln(|y/x|) = C

Тепер можемо виразити y/x з логарифма:

|y/x| = e^C, де e - числова константа (основа натурального логарифма)

Зауважте, що константа e^C також може представляти довільну константу, яку ми можемо позначити як ±C_1 (де C_1 = e^C), тобто:

|y/x| = C_1

Тепер розділимо вираз на два випадки залежно від знаку C_1:

1. Якщо C_1 > 0 (тобто C_1 = C_1_1, де C_1_1 є додатньою константою): y/x = C_1_1 y = C_1_1 * x

2. Якщо C_1 < 0 (тобто C_1 = -C_1_2, де C_1_2 є додатньою константою): y/x = -C_1_2 y = -C_1_2 * x

Отже, ми отримали два часткових розв'язки для диференціального рівняння ydx = xdy:

1. y = C_1_1 * x
2. y = -C_1_2 * x

Де C_1_1 та C_1_2 - довільні додатні константи. Ці розв'язки включають у себе загальний розв'язок даного диференціального рівняння.