Question

Знайти загальні розв’язки рівнянь: а) y′′ + 6y′ − 6y = 0; б) y′′ + 4y′ + 8y = 0; в) y′′ + 2y′ + y = 0; г) y′′ − 8y′ + 15y = 0.

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Решаем характеристические уравнения

а)

k^2+6k-6=0

k=-3±√(9+6)= -3±√15

y=C1×e^((-3+√15)x) + C2×e^((-3-√15)x)

б)

k^2+4k+8=0

k=-2±√(4-8)=-2±2i

y=e^(-2x)(C1 cos2x+C2 sin2x)

в)

k^2+2k+1=0

k=-1±√(1-1)=-1

y=C1×e^(-x)+C2×xe^(-x)

г)

k^2-8y+15=0

k=4±√(16-15)=4±1

y=C1×e^(5x)+C2×e^(3x)

Answer 2

Для знаходження загальних розв'язків цих рівнянь, спочатку спробуємо знайти характеристичні корені квадратних характеристичних рівнянь і після цього скористаємось принципом суперпозиції для знаходження загального розв'язку.

а) Рівняння: $y'' + 6y' - 6y = 0$

Характеристичне рівняння: $r^2 + 6r - 6 = 0$

Знайдемо корені цього рівняння за допомогою квадратного рівняння:

$r = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2} = -3 \pm \sqrt{15}$

Отже, характеристичні корені: $r_1 = -3 + \sqrt{15}$ і $r_2 = -3 - \sqrt{15}$.

Тепер, загальний розв'язок для цього рівняння має вигляд:

$y(t) = c_1e^{(-3 + \sqrt{15})t} + c_2e^{(-3 - \sqrt{15})t}$, де $c_1$ і $c_2$ - це довільні сталі.

б) Рівняння: $y'' + 4y' + 8y = 0$

Характеристичне рівняння: $r^2 + 4r + 8 = 0$

Знайдемо корені цього рівняння за допомогою квадратного рівняння:

$r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-12}}{2} = -2 \pm 2i\sqrt{3}$

Отже, характеристичні корені: $r_1 = -2 + 2i\sqrt{3}$ і $r_2 = -2 - 2i\sqrt{3}$.

Загальний розв'язок для цього рівняння має вигляд:

$y(t) = e^{-2t}(c_1\cos(2\sqrt{3}t) + c_2\sin(2\sqrt{3}t))$, де $c_1$ і $c_2$ - це довільні сталі.

в) Рівняння: $y'' + 2y' + y = 0$

Характеристичне рівняння: $r^2 + 2r + 1 = 0$

Знайдемо корені цього рівняння:

$r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 0}{2} = -1$

Отже, характеристичний корінь: $r = -1$ з кратністю 2.

Загальний розв'язок для цього рівняння має вигляд:

$y(t) = (c_1 + c_2t)e^{-t}$, де $c_1$ і $c_2$ - це довільні сталі.

г) Рівняння: $y'' - 8y' + 15y = 0$

Характеристичне рівняння: $r^2 - 8r + 15 = 0$

Знайдемо корені цього рівняння за допомогою квадратного рівняння:

$r = \frac{8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2}$

Отже, характеристичні корені: $r_1 = 3$ і $r_2 = 5$.

Загальний розв'язок для цього рівняння має вигляд:

$y(t) = c_1e^{3t} + c_2e^{5t}$, де $c_1$ і $c_2$ - це довільні сталі.