Question

-4у’’+4у’=(х-1)е^х найти общее решение диф уравнения

Answer 1

$-4y''+4y'=(x-1)e^{x}\\\\1)\; \; -4k^2+4k=0\; \; ,\; \; -4k\, (k-1)=0\; ,\; \; \; k_1=0\; ,\; k_2=1\\\\y_{oo}=C_1+C_2e^{x}\\\\2)\; \; \widetilde{y}=e^{x}\cdot (Ax+B)\cdot x=e^{x}\cdot (Ax^2+Bx)\\\\\widetilde{y}\, '=e^{x}\cdot (Ax^2+Bx)+e^{x}\cdot (2Ax+B)\\\\\widetilde{y}\, ''=e^{x}\cdot (Ax^2+Bx)+e^{x}\cdot (2Ax+B)+e^{x}\cdot (2Ax+B)+e^{x}\cdot 2A\\\\\\-4\widetilde{y}\, ''+4\widetilde{y}\, '=-4\, e^{x}\cdot (2Ax+B)-4\, e^{x}\cdot 2A=e^{x}\cdot (-8Ax-4B-8A)\\\\e^{x}\cdot (-8Ax-4B-8A)=e^{x}\cdot (x-1)$

$-8A\cdot x^1+(-4B-8A)\cdot x^0=x^1-1\cdot x^0\\\\x^1\; \Big|\; -8A=1\; \; ,\; \; \qquad A=-\frac{1}{8}\; \; ,\\\\x^0\; \Big|\; -4B-8A=-1\; ,\; \; 4B=1-8A=1+8\cdot \frac{1}{8}=2\; ,\; B=\frac{1}{2}\; \; .\\\\\\\widetilde {y}=e^{x}\cdot (-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{2}\cdot x)=-\frac{1}{8}\, x\cdot (x-4)\cdot e^{x}\\\\\\\boxed {\; y=y_{oo}+\widetilde {y}=C_1+C_2\, e^{x}-\frac{1}{8}\, x\cdot (x-4)\cdot e^{x}\; }$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит следующим образом:

-4y'' + 4y' = (x - 1)e^x.

Давайте найдем общее решение этого уравнения.

1. Решение однородного уравнения: -4y'' + 4y' = 0.

Сначала найдем характеристическое уравнение, подставив y = e^(rx):

-4r^2 + 4r = 0.

Разделим на -4:

r^2 - r = 0.

Факторизуем:

r(r - 1) = 0.

Отсюда получаем два корня: r = 0 и r = 1.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = c1 * e^(0x) + c2 * e^(1x), y_h = c1 + c2 * e^x.

2. Частное решение неоднородного уравнения:

Для поиска частного решения будем искать его в виде частной константы, так как правая часть уравнения уже содержит экспоненциальную функцию:

y_p = A,

где A - константа.

Подставляем это в исходное уравнение:

-4(0) + 4(0) = (x - 1)e^x, 0 = (x - 1)e^x.

Поскольку правая часть не равна нулю, это не дает нам решения. Поэтому мы можем попробовать модифицировать наше предположение для частного решения:

y_p = A * x + B.

Тогда:

y_p' = A, y_p'' = 0.

Подставляем в исходное уравнение:

-4(0) + 4(A) = (x - 1)e^x, 4A = (x - 1)e^x.

Теперь сравниваем коэффициенты слева и справа:

4A = (x - 1)e^x.

Сравнивая правые части, получаем:

4A = (x - 1)e^x, A = (x - 1)e^x / 4.

Таким образом, частное решение имеет вид:

y_p = (x - 1)e^x / 4.

3. Общее решение неоднородного уравнения:

Общее решение неоднородного уравнения состоит из суммы общего решения однородного уравнения и частного решения:

y = y_h + y_p, y = c1 + c2 * e^x + (x - 1)e^x / 4.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.