Question

Через точку С кола з центром О проведено дотичну AB, причому AO=OB. доведіть, що AC =CB​

Answer 1

Рассмотрим ΔAOB. AO=OB⇒Δ равнобедренный⇒высота OC- медиана⇒ AC=CB

Answer 2

Для доведення того, що AC = CB, ми використаємо теорему про властивості дотичних до кола.

Позначимо точку дотику дотичної AB до кола в точці C. Також, позначимо точку перетину відрізків OC і AB за точку D.

Оскільки OA = OB (це дано), то точка D, що знаходиться на діагоналі кола, також буде серединою її діаметра. Отже, OD - медіана, і вона розділяє BC пополам. Таким чином, ми маємо OD = DC.

Запишемо тепер трикутник AOD:

1. OA = OD (з рівності діагоналей кола)
2. AO = OB (за умовою)
3. OD = DC (з властивості медіани)

Трикутник AOD - рівнобедрений трикутник, тому з пункту 2 властивостей рівнобедрених трикутників, ми маємо AD = BD.

Звернімо увагу, що трикутник ACB і трикутник ADB - прямокутні трикутники, оскільки дотична до кола є перпендикуляром до радіуса в точці дотику.

Тепер ми можемо записати:

1. AC^2 = AO^2 + OC^2 (з теореми Піфагора для трикутника AOC)
2. BC^2 = BO^2 + OC^2 (з теореми Піфагора для трикутника BOC)
3. AO = OB (за умовою)

Підставимо AO = OB в другу формулу:

BC^2 = AO^2 + OC^2

Але ми знаємо, що AO^2 + OC^2 = AC^2 (з першої формули)

Таким чином, отримуємо:

BC^2 = AC^2

Дійсно, ми довели, що квадрат відрізка BC дорівнює квадрату відрізка AC:

BC^2 = AC^2

Тепер зробимо корінь від обох частин рівності:

√(BC^2) = √(AC^2)

Отримуємо:

BC = AC

Таким чином, ми довели, що AC = CB.