Question

Боковые стороны АВ и CD трапеции АВСD пересекаются в точке К, а диагонали АС и BD — в точке О. Докажите, что основание ВС делится отрезком КО пополам.

Answer 1

Ответ:

Слишком сложно... Ничем помочь не могу..

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение.

Пусть точка М - середина основания ВС трапеции АВСD. Нам нужно доказать, что точка М также является серединой отрезка КО.

Рассмотрим трапецию АВСD и проведем две параллельные прямые через точки М и К, соответственно. Пусть одна из этих параллельных прямых пересекает боковые стороны АВ и CD в точках X и Y, а другая - диагонали AC и BD в точках Z и W, как показано на рисунке ниже:

mathematicaCopy code
          B____________C
         /            \
        /              \
   W---O------------------K---X
        \              /
         \            /
          D____________A

Так как К - точка пересечения боковых сторон и O - точка пересечения диагоналей, то по свойству пересекающихся прямых получаем, что

∠OKX = ∠OKC и ∠OKW = ∠OKD

Также, так как AB || CD и OM - средняя линия трапеции АBCD, то по свойству параллельных прямых:

∠OKC = ∠OKM и ∠OKD = ∠OKM

Следовательно, ∠OKX = ∠OKW = ∠OKC = ∠OKD = ∠OKM.

Так как угол ∠OKM общий для всех указанных треугольников, а остальные углы совпадают, то треугольники ∆OKX, ∆OKW, ∆OKC, ∆OKD и ∆OKM равны.

Следовательно, отрезок КМ делит отрезок КХ пополам, что и требовалось доказать.