Question

Найдите точки перегиба и промежутки вогнутости и выпуклости функции f (x) = х^4−2х^3.

Answer 1

Ответ:x=0,x=2

f (x) = х^4−2х^3.

0=x^4-2x^3

x^4-2x^3=0

x^3(x-2)=0

x^3=0

x-2=0

x=0,x=2

Answer 2

Для нахождения точек перегиба и промежутков вогнутости/выпуклости функции f(x) = x^4 - 2x^3, мы должны вычислить вторую производную и анализировать её знаки. Первая и вторая производные функции f(x) имеют вид:

f(x) = x^4 - 2x^3 f'(x) = 4x^3 - 6x^2 f''(x) = 12x^2 - 12x

Теперь найдем точки перегиба, решив уравнение f''(x) = 0:

12x^2 - 12x = 0 12x(x - 1) = 0

Из этого уравнения видно, что точки перегиба будут при x = 0 и x = 1.

Для анализа промежутков вогнутости и выпуклости, мы можем использовать знаки второй производной:

1. Когда f''(x) > 0 (положительна), функция выпукла в этом интервале.
2. Когда f''(x) < 0 (отрицательна), функция вогнута в этом интервале.

Теперь давайте проанализируем промежутки для x < 0, 0 < x < 1 и x > 1:

Для x < 0: f''(x) = 12x^2 - 12x Подставим x = -1 (любое значение меньше 0): f''(-1) = 12 - 12 = 0

Так как f''(-1) = 0, то в этом интервале функция изменяет свою выпуклость на вогнутость.

Для 0 < x < 1: Выберем x = 0.5 (любое значение между 0 и 1): f''(0.5) = 12 * (0.5)^2 - 12 * 0.5 = 1.5 > 0

Так как f''(0.5) > 0, то функция выпукла в этом интервале.

Для x > 1: Выберем x = 2 (любое значение больше 1): f''(2) = 12 * 2^2 - 12 * 2 = 24 > 0

Так как f''(2) > 0, то функция выпукла в этом интервале.

Итак, у нас есть:

• Точки перегиба: x = 0 и x = 1.
• Промежутки выпуклости: (-∞, 0) и (1, +∞).
• Промежуток вогнутости: (0, 1).

Следовательно, функция f(x) = x^4 - 2x^3 выпукла на промежутках (-∞, 0) и (1, +∞), и вогнута на промежутке (0, 1).