Question

Математика др допоможіть y' = x/y + y/x

Answer 1

Ответ:

фото....

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Звичайне диференціальне рівняння першого порядку, яке ви представили, є неоднорідним і не вдається розв'язати простими аналітичними методами. Однак можна спростити рівняння, зробивши підстановку.

Зробимо підстановку y = ux, тоді y' = u + xu'. Підставляючи ці значення у диференціальне рівняння, отримаємо:

u + xu' = x/(ux) + (ux)/x.

Спростимо це рівняння:

u + xu' = 1/u + u.

Тепер згрупуємо за u:

u' = (1/u - u)/x.

Тепер розділимо змінні:

u/(1/u - u) du = dx/x.

Знайдемо нескінченний інтеграл від лівої і правої сторін:

∫ u/(1/u - u) du = ∫ dx/x.

Це дає нам:

∫ u * u/(1 - u^2) du = ∫ dx/x.

Тепер зробимо підстановку v = 1 - u^2, тоді dv = -2u du:

-1/2 ∫ dv/v = ∫ dx/x.

Це дає:

-1/2 ln|v| = ln|x| + C,

де C - константа інтегрування. Підставляючи знову v = 1 - u^2:

-1/2 ln|1 - u^2| = ln|x| + C.

Повертаючись до змінної y:

-1/2 ln|1 - (y/x)^2| = ln|x| + C.

Можна далі спростити це рівняння, але на цьому етапі це розв'язано щодо y та x у вигляді неявної функції.