Question

в ячейках таблицы 10х10 произвольным способом расставлены 1,2,3....1000 Обозначим через S1S2....S10 суммы чисел В первом втором ...десятом Столбце соответственно. Мож так случится, что в наборе S1 S2....S10 каждые два соседних числа Отличаются ровно на 1?

Answer 1

Ответ:

Нет

Пошаговое объяснение:

1+2+3+...+100=5050-чётное число

Предположим, что S₁+S₂+S₃+...+S₁₀=5050

По условию |S₁-S₂|=|S₂-S₃|=|S₃-S₄|=...=|S₉-S₁₀|=1

Но тогда числа S₁ и S₂,  S₂ и S₃, S₃ и S₄, ...,S₉ и S₁₀ разной чётности. А  это значит, что среди них ровно 5 чётных и ровно 5 нечётных. Сумма же 5 чётных и 5 нечётных чисел будет число нечётное. Из чего следует, что наша предположение не верно.

Answer 2

Да, такое распределение возможно. Это можно доказать, используя метод математической индукции.

Рассмотрим два случая:

1. Первые два числа в каждом столбце.
2. Следующие числа в каждом столбце.

Первые два числа в каждом столбце: Мы можем взять первые два числа в каждом столбце так, чтобы они отличались ровно на 1. Например, возьмем в первом столбце 1 и 2, во втором 3 и 4, и так далее.

Следующие числа в каждом столбце: Предположим, что мы успешно распределили числа в первых двух столбцах, так чтобы каждые два соседних числа отличались на 1. Предположим также, что мы распределили числа в первых k столбцах с этим свойством.

Теперь рассмотрим столбец номер k+1. Для каждого числа i в этом столбце, мы можем разместить его рядом с числом i-1 или i+1. Так как по предположению у нас уже есть распределение для k столбцов, где каждые два соседних числа отличаются на 1, мы можем выбрать место для числа i так, чтобы оно отличалось на 1 от предыдущего числа в этом столбце.

Итак, мы можем построить распределение для всех 10 столбцов, где каждые два соседних числа отличаются на 1.

Это доказывает, что существует способ расставить числа в таблице 10x10 так, чтобы в наборе S1, S2, ..., S10 каждые два соседних числа отличались ровно на 1.