Question

В партии из 20 изделий 4 изделия имеют скрытый дефект. Найти вероят- ность того, что из взятых наугад 5 изделий дефектными являются 2 изде- лия.

Answer 1

$P=\dfrac{C^2_4C^3_{16}}{C^5_{20}}=\dfrac{\dfrac{4!}{2!2!}\cdot \dfrac{16!}{3!13!}}{\dfrac{20!}{15!5!}}=\dfrac{6\cdot 560}{15504}=\dfrac{70}{323}$ - вероятность того, что из взятых наугад 5 изделий дефектными являются 2 изделия.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для вычисления вероятности в рамках биномиального распределения. В данной задаче у нас есть партия из 20 изделий, где 4 изделия имеют дефект, а 16 изделий являются недефектными. Мы хотим найти вероятность того, что из 5 изделий, взятых наугад, 2 изделия окажутся дефектными.

Формула для вероятности в биномиальном распределении выглядит следующим образом:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}$

Где:

• $P(X = k)$ - вероятность того, что произойдет $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях.
• $n$ - количество испытаний (в данном случае 5 изделий).
• $k$ - количество успешных испытаний (в данном случае 2 дефектных изделия).
• $p$ - вероятность успешного исхода в каждом испытании (в данном случае вероятность выбрать дефектное изделие).

Для данной задачи:

• $n = 5$
• $k = 2$
• $p = \frac{4}{20}$, так как 4 изделия из 20 дефектные.

Сначала вычислим биномиальный коэффициент:

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot (5 - 2)!} = 10$

Теперь можем подставить все значения в формулу:

$P(X = 2) = 10 \cdot \left(\frac{4}{20}\right)^2 \cdot \left(1 - \frac{4}{20}\right)^{5 - 2}$

Вычислив это выражение, получим вероятность того, что из 5 изделий 2 окажутся дефектными.