Question

Nelygybės x − 4(1 − x)2≤0

Answer 1

$x - 8(1 - x) \leqslant 0$

$x - 8 + 8x \leqslant 0$

$9x - 8 \leqslant 0$

$9x \leqslant 8$

$x \leqslant \frac{8}{9}$

Answer 2

Norėdami išspręsti nelygybę $x - 4(1 - x)^2 \leq 0$, pradėkime nuo skaidymo ir supaprastinimo:

1. Pradinė nelygybė: $x - 4(1 - x)^2 \leq 0$
2. Skleiskime kvadratą: $x - 4(1 - 2x + x^2) \leq 0$
3. Skliaustelių daugyba: $x - 4 + 8x - 4x^2 \leq 0$
4. Sumuokime narius: $9x - 4x^2 - 4 \leq 0$

Dabar turime kvadratinę nelygybę $9x - 4x^2 - 4 \leq 0$. Norėdami ją išspręsti, pereikime prie skaidymo į dauginamuosius:

1. Kvadratinė nelygybė: $9x - 4x^2 - 4 \leq 0$
2. Praplėstkime koeficientą: $-4x^2 + 9x - 4 \leq 0$
3. Skaidome į dauginamuosius: $(-4x + 1)(x - 4) \leq 0$

Štai turime išskaidytą nelygybę $(-4x + 1)(x - 4) \leq 0$. Dabar galime naudoti intervalų testavimą, kad surastume intervalus, kuriais nelygybė yra tenkinama.

• Apskritai, kai abiejų dauginamųjų ženklai yra vienodi (abu teigiami arba abu neigiami), tai intervalas tenkina nelygybę.
• Kai pirmojo dauginamojo ženklas yra teigiamas, o antrojo neigiamas, tai intervalas neatitinka nelygybės.

Pagal intervalų testavimą turime:

1. Jei $x < \frac{1}{4}$, tai $-4x + 1 > 0$ ir $x - 4 < 0$, taigi intervalas neatitinka nelygybės.
2. Jei $\frac{1}{4} \leq x \leq 4$, tai $-4x + 1 \leq 0$ ir $x - 4 \leq 0$, taigi intervalas tenkina nelygybę.
3. Jei $x > 4$, tai $-4x + 1 < 0$ ir $x - 4 > 0$, taigi intervalas neatitinka nelygybės.

Taigi, sprendinys yra $\frac{1}{4} \leq x \leq 4$. Tai reiškia, kad nelygybė $x - 4(1 - x)^2 \leq 0$ tenkinama, kai $x$ priklauso intervalui $\left[\frac{1}{4}, 4\right]$.