Question

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение √(3x^2 +2ax+1)=х^2 +ax+1 имеет ровно три различных корня. Подскажите, пожалуйста, решение. Если не трудно, максимально подробное. Заранее больше спасибо за помощь!

Answer 1

$\sqrt{3x^2+2ax+1}=x^{2}+ax+1 \Leftrightarrow \sqrt{2(x^{2}+ax)+x^{2}+1}=x^{2}+ax+1$; Для удобства сделаем замену: $x^{2}+ax=u,\; x^{2}+1=v$, тогда: $\sqrt{2u+v}=u+1$; Условие: $u+1\geq 0 \Leftrightarrow u\geq -1$ ; Возведем обе части в квадрат: $2u+v=u^{2}+2u+1\Leftrightarrow v=u^{2}+1$; Вернемся обратно к замене: $x^{2}+1=(x^{2}+ax)^{2}+1 \Leftrightarrow (-x^{2}+x-ax)(x^{2}+x+ax)=0$; Условие перепишется в виде $x^{2}+ax\geq -1$; Мы получили уравнение $x^{2}(-x+1-a)(x+1+a)=0$; Его корни: $x=0,\; x=1-a,\; x=-1-a$; Их всего три. Значит, раз мы хотим три корня, то все они должны подходить. Для этого:

• Они должны быть различными;
• Они должны удовлетворять условию.

Для различности достаточно, чтобы $a\neq \pm 1$;

Для условия (корень $x=0$ подходит): $\left \{ {{(1-a)^{2}+a(1-a)\geq -1} \atop {(1+a)^{2}-a(1+a)\geq -1 }} \right.$; Решая эту систему, получаем: $a\in[-2,\;2]$;

Запишем ответ: $a\in[-2,\;-1)\cup(-1,\;1)\cup(1,\;2]$

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело ровно три различных корня, необходимо, чтобы левая и правая части уравнения имели общие корни, но с разной кратностью. Кратность корня в данном контексте означает, сколько раз корень встречается в уравнении.

Давайте рассмотрим уравнение:

√(3x^2 + 2ax + 1) = x^2 + ax + 1

Первый шаг - избавиться от корня в левой части уравнения. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

[√(3x^2 + 2ax + 1)]^2 = (x^2 + ax + 1)^2

3x^2 + 2ax + 1 = x^4 + 2a^2x^2 + 1 + a^2 + 2ax(x^2 + a)

Упростим уравнение:

3x^2 + 2ax + 1 = x^4 + 2a^2x^2 + a^2 + 2ax^3 + 2a^2x

Теперь перенесем все члены в одну сторону:

x^4 + (2a^2 - 2a)x^2 + (2a - 2a^2)x + (a^2 - 3) = 0

Уравнение выше должно иметь ровно три различных корня. Для этого дискриминант (D) этого уравнения должен быть больше нуля, так как уравнение будет иметь три различных вещественных корня, если D > 0.

Дискриминант вычисляется по формуле: D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = 2a^2 - 2a и c = a^2 - 3.

Подставим значения и приравняем к нулю:

D = (2a^2 - 2a)^2 - 4(1)(a^2 - 3)

D = 4a^4 - 8a^3 + 4a^2 - 4a^2 + 12

D = 4a^4 - 8a^3 + 12

Теперь найдем значения "a", при которых D > 0, чтобы уравнение имело три различных корня:

4a^4 - 8a^3 + 12 > 0

Вынесем общий множитель:

4(a^4 - 2a^3 + 3) > 0

Теперь рассмотрим уравнение a^4 - 2a^3 + 3 > 0. Для этого можно использовать график функции или анализ исходного уравнения, чтобы найти интервалы, где данное неравенство выполняется. Обратим внимание, что степень четыре в уравнении означает, что это уравнение имеет ветви в обе стороны, поэтому может существовать несколько интервалов значений "a", при которых выполняется неравенство.

Один из способов решить это уравнение - разложить его на множители, если это возможно:

a^4 - 2a^3 + 3 = 0

Попробуем найти целочисленные корни, подставив значения a = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, и т.д. В данном случае ни одно из этих значений не дает нам ноль. Поэтому нам нужно применить другой подход.

Мы знаем, что это уравнение имеет четыре вещественных корня, и тогда среди корней может быть два комплексных сопряженных корня и два вещественных корня. Для того чтобы определить интервалы, где выполняется неравенство a^4 - 2a^3 + 3 > 0, можно использовать знаки коэффициентов при степенях "a".

Рассмотрим многочлен a^4 - 2a^3 + 3:

Коэффициент при a^4 равен 1 (положительное число). Коэффициент при a^3 равен -2 (отрицательное число).

С учетом этих фактов, заметим, что при увеличении значения "a" от отрицательных значений до положительных, многочлен a^4 - 2a^3 + 3 увеличивается. Таким образом, интервалы значений "a", при которых a^4 - 2a^3 + 3 > 0, будут находиться вне двух корней многочлена a^4 - 2a^3 + 3.

Попробуем найти корни многочлена a^4 - 2a^3 + 3:

a^4 - 2a^3 + 3 = 0

Как упоминалось ранее, это уравнение имеет четыре корня. Найдем их численно, используя численные методы или программы для нахождения корней уравнений.

Предположим, что найденные корни равны a1, a2, a3 и a4. Теперь определим интервалы значений "a", при которых выполнено a^4 - 2a^3 + 3 > 0.

Таким образом, мы можем найти все значения "a", при которых уравнение √(3x^2 + 2ax + 1) = x^2 + ax + 1 имеет ровно три различных