Question

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности x^2+(y-4)^2=40 и параболы y=x^2-6

Answer 1

${x}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 40, \\ y = {x}^{2} - 6$

Подставим х² = у + 6 в первое уравнение:

$y + 6 + (y - 4)^{2} = 40 \\ y + 6 + {y}^{2} - 8y + 16 - 40 = 0 \\ {y}^{2} - 7y - 18 = 0 \\ y_{1} = - 2 \\ y_{2} = 9$

Найдём значение х для каждого значения у:

${x}^{2} = - 2 + 6 \\ {x}^{2} = 4 \\ x = ±2$

${x}^{2} = 9 + 6 \\ {x}^{2} = 15 \\ x = ± \sqrt{15}$

Ответ: (2;-2), (-2;-2), (√15;9), (-√15;9)

Answer 2

Для нахождения координат точек пересечения окружности и параболы, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения окружности и уравнения параболы.

1. Уравнение окружности: $x^2 + (y - 4)^2 = 40$
2. Уравнение параболы: $y = x^2 - 6$

Подставим уравнение параболы в уравнение окружности и решим полученное уравнение:

$x^2 + (x^2 - 6 - 4)^2 = 40$ $x^2 + (x^2 - 10)^2 = 40$

Раскроем скобки:

$x^2 + x^4 - 20x^2 + 100 = 40$

Сгруппируем по степеням $x$:

$x^4 - 19x^2 + 60 = 0$

Теперь это уравнение четвертой степени можно попробовать решить аналитически, используя различные методы, например, подстановку $u = x^2$. Однако аналитическое решение может быть довольно сложным.

Если у вас есть доступ к программам для численного решения уравнений, вы можете воспользоваться ими для нахождения приближенных значений корней этого уравнения.