Question

Из вершины D параллелограмма ABCD опустили перпендикуляр DE на отрезок AC. Докажите, что перпендикуляры к прямым AB и BC, проведённые через точки A и C соответственно, пересекаются на прямой DE.

Answer 1

Решение : ///////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами параллелограмма.

Поскольку ABCD - параллелограмм, то стороны AB и CD параллельны, а стороны AD и BC также параллельны.

Пусть F и G - точки пересечения перпендикуляров к AB и BC, проведенных через точки A и C соответственно, с прямой DE. Нам нужно доказать, что F, G и D лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольники ADE и CDE.

Так как DE - высота треугольников ADE и CDE, и они имеют общую основание AC, то данные треугольники подобны. Это можно увидеть по соответственным углам.

Из подобия треугольников ADE и CDE следует, что соответственные стороны пропорциональны: AD/CD = AE/CE.

Также из параллельности сторон AD и BC следует, что AD/CD = AB/BC.

Поэтому AB/BC = AE/CE.

Из этого соотношения следует, что точки F и G, лежащие на прямых AB и BC соответственно, делят сторону AC в одном и том же отношении. То есть, точки A, F и C, а также точки C, G и B лежат на одной прямой.

Таким образом, мы доказали, что перпендикуляры к прямым AB и BC, проведенные через точки A и C соответственно, пересекаются на прямой DE.