Question

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. X - такая точка на диагонали AC , что CX:XA = 1:2. Известно, что AO: OC = 1:1, BO:OD = 1:3. В точке B заключена масса 9, в точке A - 24. Какие массы нужно поместить в точки C и D, чтобы центр попал в X?

Answer 1

Ответ:

С=54, D=3

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Обозначим массу в точке C как m_C и массу в точке D как m_D. Поскольку мы хотим, чтобы центр масс находился в точке X, необходимо выполнение условия баланса моментов вокруг точки X.

Сначала посчитаем моменты масс относительно точки X. Расстояние от точки X до точки A равно 2/3 от расстояния от X до C (так как CX:XA = 1:2), а расстояние от точки X до точки O равно половине расстояния от X до C (так как X - центр диагонали AC). Таким образом, моменты масс относительно точки X можно записать следующим образом:

Момент от точки A: 24 * (2/3) * (1/2) = 8 Момент от точки C: m_C * (1/3) * (1/2) = m_C / 6 Момент от точки B: 9 * (1/3) * (1/2) = 3 Момент от точки D: m_D * (2/3) * (1/2) = m_D / 3

Теперь, чтобы центр масс находился в точке X, сумма моментов относительно этой точки должна быть равна нулю:

8 + m_C / 6 + 3 - m_D / 3 = 0

Сокращая выражение и упрощая:

8 + m_C / 6 - m_D / 3 = -3

Переносим константы на другую сторону:

m_C / 6 - m_D / 3 = -11

Теперь, умножим обе стороны на 6, чтобы избавиться от дробей:

m_C - 2 * m_D = -66

Теперь мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

1. m_C + m_D = 33 (так как масса в точке B равна 9, а в точке A - 24)
2. m_C - 2 * m_D = -66

Решая эту систему, можно найти массы в точках C и D:

Сложим оба уравнения: m_C + m_D + m_C - 2 * m_D = 33 - 66 2 * m_C - m_D = -33

Таким образом, получаем: m_C = (-33 + m_D) / 2

Подставляем это значение во второе уравнение: (-33 + m_D) / 2 - 2 * m_D = -66

Упрощаем и решаем уравнение: -33 + m_D - 4 * m_D = -132 -3 * m_D = -99 m_D = 33

Теперь найдем m_C: m_C = (-33 + 33) / 2 m_C = 0

Итак, масса в точке C должна быть 0, а в точке D - 33, чтобы центр масс находился в точке X.