Question

-4*y' + 4*y + y'' = -e^(2*x)*sin(6*x) Нужно подробное решение вот этого уравнения. http://e.kipu-rc.ru/pluginfile.php/21895/mod_resource/content/2/Лекция/ЛДУ2_лек.pdf нам дали вот эту методичку и сказали что там вся инфа есть, но я не понимаю что делать после нахождения однородного уравнения.

Answer 1

Ответ:

def f(x):

f = zeros(len(x))

f[0] = sin(x[0]) + x[1]**2 + log(x[2]) - 7.0

f[1] = 3.0*x[0] + 2.0**x[1] - x[2]**3 + 1.0

f[2] = x[0] + x[1] + x[2] -5.0

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите характеристическое уравнение для однородного уравнения. В данном случае, однородное уравнение получается приравниванием правой части к нулю:

   -4y' + 4y + y'' = 0

Характеристическое уравнение будет иметь вид:

-4r + 4 + r^2 = 0

2. Решите характеристическое уравнение, найдя его корни. В данном случае, характеристическое уравнение можно переписать в виде:

   r^2 - 4r + 4 = 0

Это квадратное уравнение, и его корни можно найти с помощью дискриминанта:

D = (-4)^2 - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:

r = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2

3. Найдите общее решение однородного уравнения, используя найденные корни. Общее решение имеет вид:

   y_h(x) = C1 * e^(r1x) + C2 * x * e^(r2x)

В данном случае, так как у нас только один корень, решение будет иметь вид:

y_h(x) = C1 * e^(2x) + C2 * x * e^(2x)

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

4. Найдите частное решение неоднородного уравнения. В данном случае, неоднородная часть уравнения равна -e^(2*x)sin(6x).

Следуя методике, описанной в вашей методичке, найдите частное решение, предполагая его вид в виде:

y_p(x) = A * e^(2x) * sin(6x) + B * e^(2x) * cos(6x)

где A и B - коэффициенты, которые нужно определить.

5. Подставьте найденное частное решение в исходное уравнение и найдите значения коэффициентов A и B. После подстановки, уравнение примет вид:

   -4(A2e^(2x)sin(6x) + B2e^(2x)cos(6x)) + 4(Ae^(2x)sin(6x) + Be^(2x)cos(6x)) + (A2e^(2x)sin(6x) + B2e^(2x)cos(6x)) = -e^(2*x)sin(6x)

Упростив и сгруппировав подобные члены, вы получите уравнение, из которого можно выделить значения коэффициентов A и B.

6. Запишите окончательное решение дифференциального уравнения. Общее решение будет состоять из суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

   y(x) = y_h(x) + y_p(x)

   y(x) = C1 * e^(2x) + C2 * x * e^(2x) + A * e^(2x) * sin(6x) + B * e^(2x) * cos(6x)

Где C1, C2, A и B - произвольные постоянные, которые могут быть найдены из начальных условий или дополнительных ограничений, если таковые имеются.