Question

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y''=cos3x

Answer 1

Ответ: $-\frac{1}{9}cos3x+cx+d; c,d E R$

Пошаговое объяснение:

$y'=\int\limits{cos3x}\,dx=\frac{1}{3}sin3x+c\\y=\int\limits{(\frac{1}{3}sin3x+c)}\,dx=-\frac{1}{9}cos3x+cx+d$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка y'' = cos(3x), мы сначала найдем общее решение однородного уравнения, а затем добавим частное решение неоднородного уравнения.

1. Однородное уравнение: Уравнение без правой части (cos(3x)) называется однородным уравнением. Его общее решение будет иметь вид: y'' = 0

Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: r^2 = 0

Его характеристическое уравнение имеет один корень r = 0.

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет: y_h(x) = C1 + C2 * x,

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Частное решение неоднородного уравнения: Неоднородное уравнение имеет правую часть cos(3x). Чтобы найти его частное решение, предположим, что решение имеет вид: y_p(x) = a * cos(3x) + b * sin(3x),

где a и b - неизвестные коэффициенты, которые нужно найти.

Продифференцируем y_p(x): y_p''(x) = -9a * cos(3x) - 9b * sin(3x).

Подставим это в исходное уравнение: -9a * cos(3x) - 9b * sin(3x) = cos(3x).

Сравнивая коэффициенты при cos(3x) и sin(3x), получаем: -9a = 1 => a = -1/9, -9b = 0 => b = 0.

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения будет: y_p(x) = -1/9 * cos(3x).

3. Общее решение: Общее решение неоднородного уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C1 + C2 * x - 1/9 * cos(3x).

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения второго порядка y'' = cos(3x).