Question

2. Стороны основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды относятся, как 3:2. Высота пирамиды равна 3. Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60. Найдите площадь полной поверхности.

Answer 1

Пусть сторона нижнего основания а, верхнего -в.

По заданию в  = (2/3)а.

Проведём диагональное сечение.

В сечении - равнобокая трапеция высотой 3 и углом при нижнем основании 60 градусов.

Верхнее основание равно в√2 = (2/3)а√2.

Нижнее основание равно равно а√2.

Так как угол 60 градусов, то разница а√2 - (2/3)а√2 = (1/3)а√2 равна боковой стороне.

Боковая сторона равна 3/sin 60° = 3/(√3/2) = 6/√3 = 2√3.

Приравняем (1/3)а√2 = 2√3, отсюда а = 6√(3/2).

Сторона в = (2/3)а = (2/3)*6√(2/3) = 4√(3/2).

Проекция бокового ребра на нижнее основание равна

3/tg60° = 3/√3 = √3.

Спроецируем этот отрезок на сторону нижнего основания.

√3*cos45° = √3*(1/√2) = √(3/2).

Отсюда находим наклонную высоту боковой грани.

hн = √((2√3)² - (√(3/2)²) = √(12 - (3/2)) = √(21/2).

Находим площадь боковой поверхности пирамиды.

Периметры:

- верхнего основания Р1 = 4*4√(3/2) = 16√(3/2),

- нижнего основания Р2 = 4*6√(3/2) = 24√(3/2).

Тогда Sбок = (1/2)(Р1 + Р2)*hн = 20√(3/2)*√(21/2) = 30√7.

S1 = (4√(3/2))² = 24,

S1 = (6√(3/2))² = 54.

Ответ: S = S1  + S2 + Sбок = 24 + 54 + 30√7 = 78 + 30√7.

Answer 2

Давайте обозначим стороны основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды как a и b. По условию, отношение a к b равно 3:2, то есть a = 3x, а b = 2x, где x - некоторая постоянная.

Высота пирамиды равна 3.

Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60 градусов.

Итак, у нас есть пирамида с вершиной в вершине, у которой есть два уровня. Нижний уровень представляет собой правильный четырехугольник, а верхний - меньший правильный четырехугольник. Оба четырехугольника равнобедренные трапеции.

Для начала, нам нужно найти длины боковых ребер пирамиды. Мы знаем, что боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60 градусов, и у нас есть одна из вершин нижнего четырехугольника. Так как нижний четырехугольник правильный, все его углы и стороны равны.

Мы можем использовать косинусное правило для нахождения длины бокового ребра: $\cos(60^\circ) = \frac{a}{2b}.$

Заменяем a и b через выражения из начальных условий: $\cos(60^\circ) = \frac{3x}{2 \cdot 2x} = \frac{3}{4}.$

Теперь мы можем найти длину бокового ребра: $2b \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 2x \cdot \frac{3}{4} = 3x.$

Теперь у нас есть длина бокового ребра пирамиды.

Площадь боковой поверхности каждого из трапециевидных уровней равна половине произведения суммы оснований на высоту: $S_{\text{трапеции}} = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$, где $h$ - высота трапеции.

Площадь верхней трапеции: $S_{\text{верхней трапеции}} = \frac{1}{2} \cdot (2x + x) \cdot 3 = \frac{9}{2}x.$

Площадь нижней трапеции: $S_{\text{нижней трапеции}} = \frac{1}{2} \cdot (3x + 2x) \cdot 3 = \frac{15}{2}x.$

Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности, нужно сложить площади оснований и боковых поверхностей:

$S_{\text{полная}} = S_{\text{верхней трапеции}} + S_{\text{нижней трапеции}} + 2 \cdot S_{\text{трапеции}}.$

Подставляем значения площадей: $S_{\text{полная}} = \frac{9}{2}x + \frac{15}{2}x + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (3x + 2x) \cdot 3 = \frac{45}{2}x + 15x = \frac{75}{2}x.$

Теперь остается найти x. Изначально мы имеем отношение сторон a к b: $a:b = 3:2$, что равносильно уравнению $a = \frac{3}{2}b$. Подставляем это в выражение для бокового ребра:

$3x = \frac{3}{2} \cdot 2x.$

x сокращается, и получается $3x = 3x$, что верно для любого положительного x.

Итак, мы можем взять любое положительное значение x. Для удобства давайте выберем x = 1.

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности при x = 1:

$S_{\text{полная}} = \frac{75}{2} \cdot 1 = \frac{75}{2}.$

Итак, площадь полной поверхности данной усеченной пирамиды равна $\frac{75}{2}$ квадратных единиц.