Question

1 Дайте определение предела функции в точке. 2 Какими свойствами обладают пределы? 3 Перечислите основные теоремы о пределах. 4 Что такое предел функции на бесконечности?

Answer 1

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.

Answer 2

Ответ:

1.Предел функции- называется некоторое число b при x-а

2.(F1)

(F2)

(F3)

3.1.о предельном переходе в равенстве

2.о предельном переходе в неравенстве

3.Предел постоянной равен самой постоянной.

4.функция не может иметь двух различных пределов в

одной точке.

5.Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

6.Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при, причем предел произведения равен произведению пределов.

7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел ,

причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

4.Бесконечно большая функция ... Число называется пределом функции на бесконечности или при , если для любого существует число такое, что для всех из того, что , выполняется неравенство .

Answer 3

1. Предел функции в точке - это концепция из математического анализа, которая описывает поведение функции при приближении аргумента к определенной точке. Формально, говорят, что предел функции f(x) в точке x = a равен L, если для любого положительного числа ε (эпсилон) существует положительное число δ (дельта), такое что для всех значений x, удовлетворяющих 0 < |x - a| < δ, выполняется |f(x) - L| < ε.

2. Свойства пределов: a. Единственность: Предел функции в точке, если он существует, единственный. b. Ограниченность: Если предел функции в точке существует, то сама функция ограничена в некоторой окрестности этой точки. c. Арифметические операции: Предел суммы, разности, произведения и частного двух функций равен соответствующей операции над их пределами. d. Переход к неравенствам: Если для двух функций f(x) и g(x) известно, что f(x) ≤ g(x) в некоторой окрестности точки a, и предел f(x) и предел g(x) существуют в точке a, то предел f(x) не превосходит предела g(x).

3. Основные теоремы о пределах: a. Теорема о пределе композиции функций. b. Теорема о пределе суммы, разности, произведения и частного функций. c. Теорема о пределе монотонной функции. d. Теорема о пределе ограниченной функции. e. Теорема о стягивающихся отрезках. f. Теорема о пределе функции, обратной к функции с известным пределом. g. Теорема о зажатой функции (лемма о двух милиционерах).

4. Предел функции на бесконечности - это концепция, которая описывает поведение функции при аргументе, стремящемся к бесконечности (положительной или отрицательной). Формально говоря, предел функции f(x) при x стремящемся к бесконечности равен L, если для любого положительного числа ε существует такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих |x| > M, выполняется |f(x) - L| < ε.

Это позволяет анализировать поведение функций на больших значениях аргумента и понимать, как функция приближается к определенному значению при стремлении аргумента к бесконечности.