Question

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а высота пирамиды равна 6 см. Найдите объем пирамиды.

Answer 1

Ответ:

Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды определим как сумму площадей основания и боковой поверхности: S = Sосн + Sбок.

В основании лежит правильный треугольник, его площадь определим по формуле Sосн = a2√3 / 4, где а - сторона основания.

Площадь боковой поверхности определим как сумму площадей боковых граней. В правильной треугольной пирамиде боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники, поэтому Sбок = 3 * 0,5 * а * h, где а - сторона основания, h - апофема.

Апофему найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника, в котором катеты - высота пирамиды и радиус окружности, вписанной в основание: h = √ (r2 + H2).

Радиус окружности, вписанной в основание, определяем по формуле: r = a / 2√3.

r = a / 2√3 = 4 / 2√3 = 2 / √3;

h = √ (r2 + H2) = √ (4 / 3 + 36) = √ (112 / 3) = 4√7 / √3;

Sбок = 3 * 0,5 * а * h = 3 * 4 * 4√7 / 2√3 = 24√7 / √3;

Sосн = a2√3 / 4 = 16√3 / 4 = 4√3;

S = Sосн + Sбок = 4√3 + 24√7 / √3 ≈ 43,59 см2.

_(как то так)(я не очень уверена)_

Answer 2

Объем правильной треугольной пирамиды можно вычислить по следующей формуле:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h,$

где $S_{\text{осн}}$ - площадь основания пирамиды, $h$ - высота пирамиды.

Для правильной треугольной пирамиды площадь основания можно найти, используя формулу для площади равностороннего треугольника:

$S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2,$

где $a$ - длина стороны равностороннего треугольника.

В данном случае $a = 4$ см, поэтому:

$S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 = 4\sqrt{3} \, \text{см}^2.$

Теперь, подставив значения в формулу для объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 6 = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \, \text{см}^3.$

Итак, объем пирамиды составляет $8\sqrt{3} \, \text{см}^3$.