Question

Разложите функцию e^3x по степеням x.

Answer 1

$f(x) = {e}^{3x}$

Общий ряд экспоненты:

$no numeric noise key 1076^no numeric noise key 1075 = \sum_NO NUMERIC NOISE KEY 1074^{ \infty } \frac{ 1073^no numeric noise key 1072 }no numeric noise key 1071 =1 + 1070^no numeric noise key 1069 1068 1067^no numeric noise key 1066 1065 1064^no numeric noise key 1063 1062 1061^no numeric noise key 1060 1059 ...$

Тогда подставив вместо g необходимую функцию 3х получим:

${e}^{3x} = \sum_{n = 0}^{ \infty } \frac{ {3}^{n} {x}^{n} }{n!} = 1 + 3x + \frac{9 {x}^{2} }{2} + \frac{27 {x}^{3} }{6} + \frac{81 {x}^{4} }{24} + ...$

Answer 2

Функцию $e^{3x}$ можно разложить в ряд Тейлора. Ряд Тейлора для функции $e^{x}$ имеет вид:

$e^{x} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots$

Для нашего случая, где $x$ заменяется на $3x$, получим:

$e^{3x} = 1 + (3x) + \frac{(3x)^2}{2!} + \frac{(3x)^3}{3!} + \frac{(3x)^4}{4!} + \ldots$

Упрощая выражение, получим:

$e^{3x} = 1 + 3x + \frac{9x^2}{2} + \frac{27x^3}{6} + \frac{81x^4}{24} + \ldots$

Итак, разложение функции $e^{3x}$ по степеням $x$ имеет вид:

$e^{3x} = 1 + 3x + \frac{9x^2}{2} + \frac{27x^3}{6} + \frac{81x^4}{24} + \ldots$