Question

Найти общее решение ДУ с разделяющимися переменными: (1+y)dx-(1-x)dy=0

Answer 1

$(1+y)dx-(1-x)dy=0\\(y+1)dx=(1-x)dy\\\frac{dy}{y+1} = \frac{dx}{1-x}\\\int \frac{dy}{y+1} = \int\frac{dx}{1-x}\\ln|y+1|=ln(c|1-x|) = ln(c|x-1|)\\|y+1|=|c(x-1)|$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить методом разделяющихся переменных. Начнем с переписывания уравнения в стандартной форме:

(1+y)dx - (1-x)dy = 0

Разделим обе части уравнения на выражения с переменными:

(1+y)dx = (1-x)dy

Теперь разделим обе стороны на соответствующие переменные:

(1+y) / (1-x) dx = dy

Интегрируем обе стороны:

∫ (1+y) / (1-x) dx = ∫ dy

Для левой стороны интеграла мы можем сделать замену переменных. Положим:

u = 1+y du = dy

Тогда замена в интеграле будет:

∫ u / (1-x) dx = ∫ du

Вычислим интегралы:

∫ u / (1-x) dx = ∫ du u = ∫ du u = u + C1, где C1 - произвольная константа интегрирования

Теперь вернемся к нашей замене переменных:

u = 1+y

Следовательно:

1 + y = u

y = u - 1

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

y = u - 1, где u - произвольная функция от x (решение уравнения после интегрирования) и C1 - произвольная константа.