Question

Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°. В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна 12 см, а противолежащий угол равен 30°. Определи площадь полной поверхности конуса.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Дано (см. рисунок):

 Конус

 ΔPAO = 60°

 ΔАВС вписан в основание конуса

 AC = 12 см

 ∠B = 30°  

Найти: Sполн.

Решение. Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, определяется стороной АС и противолежащим углом В по формуле:

$\tt R = \dfrac{AC}{2 \cdot sin \angle B} .$

Подставляем известные значения:

$\tt R = \dfrac{12}{2 \cdot sin \angle 30^0} =\dfrac{12}{2 \cdot \dfrac{1}{2} } = 12 \;CM.$

В прямоугольном треугольнике AОP применим определение косинуса:

$\tt cos \angle PAO = \dfrac{R}{AP } .$

Отсюда определяем образующую AP:

$l = \tt AP = \dfrac{R}{ cos \angle PAO} =\dfrac{12}{ cos 60^0} =\dfrac{12}{\dfrac{1}{2} } =24 \;CM.$

Теперь можем определить полную поверхность конуса:

Sполн = π·R·l + π·R² = π·12·24 + π·12² = 288·π + 144·π = 432 см².

Answer 2

Ответ:

432 см²

Пошаговое объяснение:

Дано: конус.

ΔАВС - вписанный;

∠АВС = 30°; АС = 12 см;

∠    SAO = 60°

Найти: S - площадь полной поверхности конуса.

Решение:

Площадь полной поверхности конуса найдем по формуле:

$\displaystyle S_k=\pi r(r+l)$, где r - радиус основания; l - образующая.

1. Рассмотрим ΔАВС - вписанный.

∠АВС = 30° - вписанный.

• Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

⇒ ∠АОС = 2∠АВС = 60° (центральный)

2. Рассмотрим ΔАОС.

АО = ОС = r

⇒ ΔAOC - равнобедренный.

• Угла при основании равнобедренного треугольника равны.

⇒ ∠ОАС = ∠ОСА

• Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠ОАС = ∠ОСА = (180° - 60°) : 2 = 60°

• Если в треугольнике все углы равны, то этот треугольник - равносторонний.

⇒ ΔАОС - равносторонний.

⇒ АО = ОС  = АС = r = 12 см

2. Рассмотрим ΔASO - прямоугольный.

∠SAO  = 60° (условие)

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠ASO = 90° - 60° = 30°

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ SA = AO · 2 = 12 · 2 = 24 (см)

⇒ l = 24 см

3. Найдем площадь полной поверхности конуса:

S = π · 12 (12 + 24) = 432π (см²)

Answer 3

Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нужно сложить площадь его основания и площадь боковой поверхности.

1. Площадь основания конуса можно найти, зная сторону треугольника, вписанного в основание конуса. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника по стороне и углу между этой стороной и радиусом вписанной окружности:

Площадь основания = (сторона^2 * √3) / 4,

где сторона = 12 см.

Подставляем значение:

Площадь основания = (12^2 * √3) / 4 = (144 * √3) / 4 = 36√3 см².

2. Площадь боковой поверхности конуса можно найти, зная образующую конуса и его радиус. Образующая конуса равна радиусу вписанной окружности треугольника.

Так как одна сторона треугольника равна 12 см, а противолежащий угол равен 30°, то треугольник является равносторонним. Следовательно, радиус вписанной окружности равен половине стороны треугольника:

Радиус = сторона / 2 = 12 / 2 = 6 см.

Образующая конуса равна радиусу, умноженному на √3:

Образующая = радиус * √3 = 6 * √3 см.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

Площадь боковой поверхности = π * радиус * образующая.

Подставляем значения:

Площадь боковой поверхности = π * 6 * √3 * 6 = 36π√3 см².

3. Итак, площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

Площадь полной поверхности = Площадь основания + Площадь боковой поверхности = 36√3 + 36π√3 = (36 + 36π)√3 см².

Ответ: Площадь полной поверхности конуса равна (36 + 36π)√3 см².