Question

Вычислить интеграл: 4 ∫01xdx(x2+1)2 В ответ введите полученное целое число.

Answer 1

Ответ:

-1

Пошаговое объяснение:

xdx/(x^2+1)^2 = -1/2(x^2+1)

вместо х поставить 1 и 0 получаем:

-1/2(1+1) = -1/4

4*(-1/4) = -1

Answer 2

Давайте вычислим данный интеграл:

∫[0,1] x(x^2 + 1)^2 dx

Сначала выполним раскрытие скобок внутри интеграла:

∫[0,1] (x^5 + 2x^2 + x) dx

Теперь проинтегрируем каждый из членов по отдельности:

∫ x^5 dx + ∫ 2x^2 dx + ∫ x dx

Рассчитаем интегралы:

(1/6)x^6 + (2/3)x^3 + (1/2)x^2

Вычислим значение верхнего предела (1) и вычитаем значение нижнего предела (0):

(1/6) * 1^6 + (2/3) * 1^3 + (1/2) * 1^2 - [(1/6) * 0^6 + (2/3) * 0^3 + (1/2) * 0^2]

Упростим выражение:

(1/6) + (2/3) + (1/2) = 3/6 + 4/6 + 3/6 = 10/6 = 5/3

Итак, интеграл ∫[0,1] x(x^2 + 1)^2 dx равен 5/3.

Answer 3

Давайте вычислим данный интеграл:

∫[0,1] x / (x^2 + 1)^2 dx.

Для начала, давайте сделаем замену переменной: пусть u = x^2 + 1, тогда du = 2x dx.

Теперь интеграл примет вид:

∫ u^(-2) du.

Интегрируем u^(-2):

∫ u^(-2) du = -u^(-1) = -1 / u.

Теперь возвращаемся к исходной переменной:

-1 / (x^2 + 1).

Теперь подставляем пределы интегрирования [0, 1]:

-1 / (1^2 + 1) - (-1 / (0^2 + 1)) = -1 / 2 - (-1) = -1 / 2 + 1 = 1/2.

Ответ: 1/2.

Итак, полученное целое число: 0.