Question

1/3x^3-3x^2+8 Исследование функции при помощи производной

Answer 1

Ответ:

1/3×(×3-9×2+24)

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для исследования функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8$ сначала найдем её производную $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8 \right)$

Производная каждого члена функции будет:

$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 \right) = x^2$ $\frac{d}{dx} \left( -3x^2 \right) = -6x$ $\frac{d}{dx} (8) = 0$

Теперь соберем производные обратно:

$f'(x) = x^2 - 6x$

Теперь проведем анализ функции и её производной:

1. Точки экстремума (максимумы и минимумы): Точки экстремума возникают, когда производная $f'(x)$ равна нулю или не существует. Найдем точки, где $f'(x) = 0$:

$x^2 - 6x = 0$ $x(x - 6) = 0$

Из этого следует, что $x = 0$ или $x = 6$. Теперь проверим вторую производную в этих точках, чтобы определить, являются ли точки экстремума:

$f''(x) = \frac{d}{dx} (x^2 - 6x) = 2x - 6$

Подставляя $x = 0$, получаем $f''(0) = -6$, что означает, что это точка максимума.

Подставляя $x = 6$, получаем $f''(6) = 6$, что означает, что это точка минимума.

2. Интервалы возрастания и убывания: Анализируя знак производной $f'(x)$, можно определить интервалы, на которых функция возрастает и убывает:

• Когда $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• Когда $f'(x) < 0$, функция убывает.

Так как $f'(x) = x^2 - 6x$, то:

• $f'(x) > 0$ при $x < 0$ и $x > 6$.
• $f'(x) < 0$ при $0 < x < 6$.

3. Точки перегиба: Точки перегиба возникают, когда вторая производная $f''(x)$ меняет знак. У нас $f''(x) = 2x - 6$, и он меняет знак при $x = 3$. Таким образом, $x = 3$ - это точка перегиба.

4. Поведение на бесконечностях: Изучим поведение функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$. При больших положительных и отрицательных значениях $x$, кубический член $x^3$ будет доминировать, и функция будет стремиться к бесконечности.

Теперь мы имеем полную картину поведения функции $f(x)$ и её производных:

• Максимум функции: $(0, 8)$
• Минимум функции: $(6, -50)$
• Точка перегиба: $(3, -1)$
• Интервалы возрастания: $(-\infty, 0)$, $(6, \infty)$
• Интервалы убывания: $(0, 3)$
• Поведение на бесконечностях: $f(x)$ стремится к бесконечности при $x \to \pm \infty$

Это общее исследование функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8$