Question

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсечённых треугольников равны 11, 20, 20. Найди периметр данного треугольника.

Answer 1

Пусть окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, точками касания разбивает его стороны AB, AC и BC на отрезки AM+MB, AN+NC и BL+LC соответственно.

Рассмотрим часть треугольника при вершине A, которую отсекает вписанная в него окружность (см. рисунок).

Проведем произвольную касательную к окружности. Через K обозначим точку касания окружности, а через P и Q -- точки пересечения с отрезками AM и AN соответственно.

1. Докажем равенство отрезков AM = AN.

Рассмотрим треугольники OMA и ONA. Поскольку радиус, опущенный из центра окружности в точку касания, всегда перпендикулярен касательной, эти треугольники являются прямоугольными с прямым углом при вершинах M и N соответственно. Гипотенуза OA у треугольников OMA и ONA общая, а катеты OM и ON являются радиусами окружности и потому равны между собой. Таким образом, треугольники OMA и ONA равны, а следовательно AM = AN.

2. Докажем равенство отрезков PM = PK.

Рассмотрим треугольники OPM и OPK. По тем же соображениям они являются прямоугольными, имеют общую гипотенузу OP и равные катеты OM = OK. Таким образом, треугольники равны между собой, а следовательно PM = PK.

3. Докажем равенство отрезков QN = QK.

Рассмотрим треугольники OQN и OQK. По тем же соображениям они являются прямоугольными, имеют общую гипотенузу OQ и равные катеты ON = OK. Таким образом, треугольники равны между собой, а следовательно QN = QK.

4. Докажем, что сумма AM + AN длин отрезков , которые отсекает окружность от сторон треугольника ABC, равна периметру треугольника, который отсекает касательная PQ.

AM + AN = (AP + PM) + (AQ + QN) = (AP + PK) + (AQ + QK) = AP + PQ + AQ.

Рассуждения для двух оставшихся вершин B и C треугольника ABC полностью аналогичны.

Периметр треугольника ABC равен P = AB + AC + BC = (AM + MB) + (AN + NC) + (BL + LC) = (AM + AN) + (BM + BL) + (CN + CL), то есть сумме периметров треугольников, которые отсекают касательные к окружности.

Подставляя данные из условия задачи, находим, что P = 11 + 20 + 20 = 51.

Answer 2

Обозначим через A', B' и C' точки касания окружности с треугольником ABC соответственно. Также обозначим отрезки, которые были отсечены касательными, как x, y и z.

Известно, что касательная к окружности в любой точке перпендикулярна радиусу, проведенному в этой точке. Следовательно, отрезки A'B', B'C' и C'A' являются радиусами окружности.

Периметры отсеченных треугольников равны 11, 20 и 20, а это означает, что сумма длин сторон отсеченных треугольников равна полупериметру треугольника ABC. Полупериметр треугольника ABC обозначим как p.

Таким образом, у нас есть следующие уравнения:

x + x + p = 11 y + y + p = 20 z + z + p = 20

Решая эти уравнения, мы можем найти значения x, y и z:

x = 11 - 2p y = 20 - 2p z = 20 - 2p

Теперь мы можем выразить периметр треугольника ABC через x, y и z:

Периметр ABC = x + y + z + 2p = (11 - 2p) + (20 - 2p) + (20 - 2p) + 2p = 51 - 2p

Мы не знаем значение полупериметра p, поэтому не можем точно найти периметр треугольника ABC. Мы можем лишь выразить его через параметр p как P = 51 - 2p, где p - полупериметр треугольника ABC.