Question

Найдите точку максимума функции y=-9x^2-x^3+12.

Answer 1

$f(x)=-9x^2-x^3+12\\\\f'(x)=-18x-3x^2\\\\f'(x)=0:\\\\-18x-3x^2=0\ \ \mid \div3\\\\-6x-x^2=0\\\\6x+x^2=0\\\\x(6+x)=0\\\\x=0\\x=-6\\\\-----[-6]+++++[0]-----\\\\x_{max}=0\\\\f_{max}=f(x_{max})=-9*0^2-0^3+12=12\\\\(x;y)=(0;12)$

Answer 2

Чтобы найти точку максимума функции, нужно найти её критические точки (где производная равна нулю или не существует) и провести исследование на экстремумы. Давайте начнём с вычисления производной функции y по x:

y = -9x^2 - x^3 + 12

y' = -18x - 3x^2

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

-18x - 3x^2 = 0

3x^2 + 18x = 0

3x(x + 6) = 0

Из этого следует, что x = 0 или x = -6.

Теперь нам нужно проанализировать вторую производную функции, чтобы определить, являются ли найденные точки максимумами или минимумами. Вычислим вторую производную:

y'' = -18 - 6x

Для x = 0: y''(0) = -18

Для x = -6: y''(-6) = -18 + 6 * (-6) = -54

Так как y''(x) < 0 при обеих критических точках, то это означает, что в точках x = 0 и x = -6 есть локальные максимумы.

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для x = 0: y(0) = -9(0)^2 - (0)^3 + 12 = 12

Для x = -6: y(-6) = -9(-6)^2 - (-6)^3 + 12 = -216 + 216 + 12 = 12

Итак, точки максимума функции y = -9x^2 - x^3 + 12: (0, 12) и (-6, 12).