Question

По кругу записаны 14 натуральных чисел. Сумма любых четырёх чисел, стоящих подряд, равна 60. Докажите, что каждое из этих чисел меньше 30.

Answer 1

Ответ:14+16+12+18

Пошаговое объяснение:

14+16=30

и 14 и 16 меньше 30

12+18=30

и то и то меньше 30

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение от противного. Предположим, что существует хотя бы одно число на этом круге, которое больше или равно 30. Рассмотрим такие числа, обозначим их как $a, a+1, \ldots, a+13$, где $a \geq 30$. Так как числа расположены по кругу, при суммировании будем считать "по модулю 14" (то есть возврат к началу круга после последнего числа).

Сумма любых четырёх чисел, стоящих подряд, равна 60, поэтому:

$$\begin{align*} a + (a+1) + (a+2) + (a+3) &= 60 \\ 4a + 6 &= 60 \\ 4a &= 54 \\ a &= 13.5 \end{align*}$$

Это означает, что наименьшее значение $a$ должно быть 13.5. Однако это противоречит предположению, что все числа на круге натуральные. Следовательно, на круге нет чисел, больших или равных 30.

Таким образом, каждое из 14 натуральных чисел на данном круге должно быть меньше 30, что было доказано.