Question

Точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = 4t^3+ 2t – 3. Найдите закон движения точки, если в момент времени t = 1 c пройден путь 4 м.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Скорость - производная расстояния по времени, поэтому

s(t) = ∫v(t) dt = t^4 + t^2 - 3t + C

Подставим t=1 и найдем C:

s(1) = 1 + 1 - 3 + C = 4

4 = C - 1

C = 5

Таким образом, закон движения точки:

s(t) = t^4 + t^2 - 3t + 5

Answer 2

Для определения закона движения точки воспользуемся определением скорости как производной от смещения по времени:

v(t) = ds(t)/dt,

где v(t) - скорость точки в момент времени t, а s(t) - смещение точки в момент времени t.

Интегрируем обе части уравнения для нахождения смещения:

∫v(t) dt = ∫(4t^3 + 2t - 3) dt.

Проинтегрируем каждый член отдельно:

∫v(t) dt = ∫(4t^3) dt + ∫(2t) dt - ∫(3) dt.

Для интегрирования каждого члена воспользуемся формулами интегрирования:

∫t^n dt = (t^(n+1))/(n+1) + C,

где n - любое вещественное число, C - постоянная интегрирования.

Применяя формулы интегрирования, получим:

s(t) = (t^4)/4 + t^2 - 3t + C.

Теперь нам нужно определить постоянную интегрирования C. Для этого используем условие, что в момент времени t = 1 с пройденный путь равен 4 м:

s(1) = (1^4)/4 + 1^2 - 3*1 + C = 4.

Решим это уравнение относительно C:

1/4 + 1 - 3 + C = 4, C = 4 - 1/4 - 1 + 3, C = 4 - 1/4 - 4/4 + 12/4, C = 16/4 - 5/4, C = 11/4.

Таким образом, закон движения точки будет:

s(t) = (t^4)/4 + t^2 - 3t + 11/4.