Question

15 БАЛЛОВ!!! СРОЧНО!!! 9. Доказать, что 16⁵ + 8⁶ кратно 5.​

Answer 1

Решение:

$16^{5} +8^{6} = (2^{4} )^{5} + (2^{3}) ^{6} = 2^{20} +2^{18}$

Заметим, что последние цифры степеней двойки чередуются 2 4 8 6 2 4 8 6 и тд

Это происходит, потому что последняя цифра в произведении зависит только от последних цифр множителей, ф они всегда одинаковые {2, 4, 8, 6} и 2.

Заметим что сумма любых двух  последних цифр стоящих через одну равна 10. Значит сумма любых двух степеней двойки через одну будет заканчиваться на 0 ⇒ будет делиться на 5.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $16^5 + 8^6$ кратно 5, мы можем воспользоваться свойствами остатков от деления. Остаток от деления числа на 5 показывает, насколько это число отличается от ближайшего кратного 5.

Сначала давайте рассмотрим остатки от деления степеней числа 16 на 5:

$$16^1 \equiv 1 \pmod{5} \\ 16^2 \equiv 1 \pmod{5} \\ 16^3 \equiv 1 \pmod{5} \\ 16^4 \equiv 1 \pmod{5} \\ 16^5 \equiv 1 \pmod{5}$$

Аналогично, остатки от деления степеней числа 8 на 5:

$$8^1 \equiv 3 \pmod{5} \\ 8^2 \equiv 4 \pmod{5} \\ 8^3 \equiv 2 \pmod{5} \\ 8^4 \equiv 1 \pmod{5} \\ 8^5 \equiv 3 \pmod{5} \\ 8^6 \equiv 4 \pmod{5}$$

Теперь мы можем выразить выражение $16^5 + 8^6$ в остатках от деления на 5:

$$16^5 + 8^6 \equiv 1 + 4 \equiv 5 \equiv 0 \pmod{5}$$

Таким образом, $16^5 + 8^6$ действительно кратно 5, что и требовалось доказать.