Question

СРОЧНО!! ABC - равнобедренный треугольник с основанием AC=24. Радиус окружности, вписанной в треугольник ABC равен 4,8. Найдите радиус окружности с центром вне этого треугольника, которая касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC

Answer 1

Ответ:

30

Пошаговое объяснение:

1)24:2=12

2)12^2/4,8=30

Answer 2

Пусть P будет точкой касания искомой окружности с продолжением боковой стороны AB, Q - с продолжением боковой стороны BC, а R - с основанием AC.

Так как окружность вписана в треугольник ABC, мы можем воспользоваться известной формулой для радиуса вписанной окружности в равнобедренном треугольнике:

$r = \frac{a}{2} \cdot \tan\left(\frac{\angle B}{2}\right)$

Где a - длина основания AC, а $\angle B$ - угол при вершине B.

Мы знаем, что радиус r вписанной окружности равен 4,8, а a = 24. Подставляем в формулу:

$4,8 = \frac{24}{2} \cdot \tan\left(\frac{\angle B}{2}\right)$

Отсюда можно найти угол $\angle B$:

$\tan\left(\frac{\angle B}{2}\right) = \frac{4,8}{12} = 0,4$

$\frac{\angle B}{2} = \arctan(0,4)$

$\angle B = 2 \cdot \arctan(0,4)$

С помощью тригонометрических свойств, мы также можем определить $\angle A$ и $\angle C$:

$\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - \angle B}{2}$

Теперь у нас есть значения всех углов треугольника ABC.

Далее, посмотрим на треугольник PBR. Так как BR - это половина основания AC, то $\angle PBR = \frac{\angle B}{2}$. Также, угол PBR образован вписанным углом на дугу PR, и угол PBR равен $\frac{\angle A}{2}$.

Теперь мы можем использовать тригонометрические свойства для нахождения радиуса вневписанной окружности, описанной вокруг треугольника PBR:

$\tan\left(\frac{\angle PBR}{2}\right) = \frac{r_{\text{вневп}}}{BR}$

Где $r_{\text{вневп}}$ - радиус вневписанной окружности.

Подставляем значения:

$\tan\left(\frac{\angle B}{4}\right) = \frac{r_{\text{вневп}}}{\frac{24}{2}}$

$\tan\left(\frac{2 \cdot \arctan(0,4)}{4}\right) = \frac{r_{\text{вневп}}}{12}$

Решаем уравнение для $r_{\text{вневп}}$:

$r_{\text{вневп}} = 12 \cdot \tan\left(\frac{\arctan(0,4)}{2}\right)$

$r_{\text{вневп}} \approx 4,532$

Итак, радиус окружности с центром вне треугольника ABC, которая касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC, примерно равен 4,532.