Question

Решите неравенство 4*4^x - 7*2^x -2<0 60 баллов, ПОЖАЛУЙСТА!!!

Answer 1

Пусть  = t; t>0

[tex]t^{2} -7t+10=0

D= 49-40= 9 > 0 2 различных корня

t1 = 7+3/2 = 5

t2 = 7-3/2=2

Отмечаем на координатной прямой.

t²-7t+10 это парабола. ветви вверх

Смотришь область которая ниже нуля

получается  [2;5]

2^{x} = t

2^{x} ≥ 2                     x= 1

2^{x} ≤5                     x= ㏒₂5

Answer 2

Давайте решим данное неравенство:

$4 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^x - 2 < 0$

Сначала давайте представим $4^x$ и $2^x$ как степени одной и той же базы (2):

$2^{2x} - 7 \cdot 2^x - 2 < 0$

Теперь объединим все члены с одинаковыми степенями базы 2:

$2^{2x} - 7 \cdot 2^x - 2 = 0$

Теперь давайте введем временную переменную, например, $y = 2^x$, чтобы переписать уравнение в терминах $y$:

$y^2 - 7y - 2 < 0$

Теперь решим квадратное уравнение $y^2 - 7y - 2 = 0$ с помощью квадратного корня:

$y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2}$

$y = \frac{7 \pm \sqrt{57}}{2}$

Таким образом, у нас два корня для $y$:

$y_1 = \frac{7 + \sqrt{57}}{2}$ $y_2 = \frac{7 - \sqrt{57}}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

$2^x = \frac{7 + \sqrt{57}}{2}$ $2^x = \frac{7 - \sqrt{57}}{2}$

Для первого уравнения, чтобы решить для $x$:

$x = \log_2\left(\frac{7 + \sqrt{57}}{2}\right)$

Аналогично, для второго уравнения:

$x = \log_2\left(\frac{7 - \sqrt{57}}{2}\right)$

Таким образом, решения неравенства:

$x \in \left( \log_2\left(\frac{7 - \sqrt{57}}{2}\right), \log_2\left(\frac{7 + \sqrt{57}}{2}\right) \right)$

Пожалуйста, учтите, что точные значения могут быть сложными числами, и вам возможно потребуется калькулятор для вычисления приближенных численных значений.