Question

∫₁⁴ х^2-3х+ 4/х√х вычислить интеграл

Answer 1

Ответ:8/3

Пошаговое объяснение:во  вложении

Answer 2

Чтобы вычислить данный интеграл ∫₁⁴ (x^2 - 3x + 4) / (x√x) dx, давайте сначала разложим числитель на слагаемые и упростим выражение:

x^2 - 3x + 4 = x^2 - 2x - x + 4 = x(x - 2) - (x - 2) = (x - 2)(x - 1).

Итак, интеграл принимает вид:

∫₁⁴ (x - 2)(x - 1) / (x√x) dx.

Теперь разделим числитель и знаменатель на √x:

∫₁⁴ (x - 2)(x - 1) / (x^(3/2)) dx.

После этого мы можем разделить интеграл на два отдельных интеграла:

∫₁⁴ (x - 2)(x - 1) / x^(3/2) dx = ∫₁⁴ (x - 2) / x^(3/2) dx - ∫₁⁴ (x - 1) / x^(3/2) dx.

Теперь вычислим эти интегралы по отдельности.

1. ∫₁⁴ (x - 2) / x^(3/2) dx: Для интегрирования этого интеграла, выполним замену переменной: u = x^(1/2), тогда du = (1/2)x^(-1/2) dx. Когда x = 1, u = 1^(1/2) = 1, и когда x = 4, u = 4^(1/2) = 2.

Интеграл становится: ∫₁² (2u^2 - 4) / u^3 du = ∫₁² (2/u - 4/u^3) du = 2∫₁² u^(-1) du - 4∫₁² u^(-3) du = 2[ln|u|]₁² + 4[(-1/2)u^(-2)]₁² = 2ln(2) - 2ln(1) + 4(1/4 - 1/1) = 2ln(2) - 1.

2. ∫₁⁴ (x - 1) / x^(3/2) dx: Аналогично предыдущему шагу, выполним замену переменной: v = x^(1/2), тогда dv = (1/2)x^(-1/2) dx. Когда x = 1, v = 1^(1/2) = 1, и когда x = 4, v = 4^(1/2) = 2.

Интеграл становится: ∫₁² (2v^2 - 1) / v^3 dv = ∫₁² (2/v - 1/v^3) dv = 2∫₁² v^(-1) dv - ∫₁² v^(-3) dv = 2[ln|v|]₁² - [-1/(2v^2)]₁² = 2ln(2) - 1.

Итак, суммируя результаты двух интегралов, получаем:

∫₁⁴ (x - 2)(x - 1) / (x^(3/2)) dx = (2ln(2) - 1) + (2ln(2) - 1) = 4ln(2) - 2.