Question

Решите уравнение 4cos^2 x-7sinx-1=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Заменим cos^2x по основному тригонометрическому уравнению

cos^2x=1-sin^2

4(1-sin^2x)-7sinx-1=0

4-4sin^2x-7sinx-1=0

-4sin^2-7sinx-3=0

Ведер новую переменную

sinx=t

-4t^2-7t-3=0

4t^2+7t+3=0

D=49-48=1

t=(-7+1)/8=-3/4

t=(-7-1)/8=1

sinx=1. sinx=-3/4

x=Π/2+2Πn x=(-1)^n*arcsin (-3/4)+Πn n

x=(-1)^n+1*arcsin3/4+Πn

везде n ∈Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте заменим trig-функции с использованием их связей:

1. Используем основное тригонометрическое тождество: cos^2(x) + sin^2(x) = 1.
2. Заменим sin^2(x) в уравнении на (1 - cos^2(x)).
3. Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (cos(x)). Решим его как квадратное уравнение относительно cos(x).

Итак, начнем:

4cos^2(x) - 7sin(x) - 1 = 0

Заменим sin^2(x) на (1 - cos^2(x)):

4cos^2(x) - 7 * sqrt(1 - cos^2(x)) - 1 = 0

Обозначим cos(x) за t:

4t^2 - 7 * sqrt(1 - t^2) - 1 = 0

Решим это уравнение относительно t. Сначала переносим все термины на одну сторону:

4t^2 - 7 * sqrt(1 - t^2) - 1 = 0

7 * sqrt(1 - t^2) = 4t^2 - 1

Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат:

49 * (1 - t^2) = (4t^2 - 1)^2

Раскрываем квадрат справа:

49 * (1 - t^2) = 16t^4 - 8t^2 + 1

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

49 - 49t^2 = 16t^4 - 8t^2 + 1

Приравниваем к нулю:

16t^4 - 8t^2 - 49t^2 + 48 = 0

Упростим:

16t^4 - 57t^2 + 48 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно t^2. Решим его как квадратное уравнение:

(4t^2 - 3)(4t^2 - 16) = 0

Теперь находим значения t^2:

1. 4t^2 - 3 = 0 4t^2 = 3 t^2 = 3/4 t = ±sqrt(3)/2

2. 4t^2 - 16 = 0 4t^2 = 16 t^2 = 4 t = ±2

Так как мы заменили cos(x) на t, это означает, что:

cos(x) = sqrt(3)/2, -sqrt(3)/2, 2, -2

Теперь найдем соответствующие значения углов x:

1. cos(x) = sqrt(3)/2 x = π/6, -π/6 (или 30°, -30°)

2. cos(x) = -sqrt(3)/2 x = 5π/6, -5π/6 (или 150°, -150°)

3. cos(x) = 2 Уравнение не имеет решений в действительных числах, так как значения косинуса ограничены диапазоном [-1, 1].

4. cos(x) = -2 Уравнение не имеет решений в действительных числах, так как значения косинуса ограничены диапазоном [-1, 1].

Итак, решения уравнения 4cos^2(x) - 7sin(x) - 1 = 0 в диапазоне [0, 2π] следующие:

x = π/6, -π/6, 5π/6, -5π/6.