Question

Найдите наибольшее значение функции f(x)= sin^2x+cosx на промежутке [pi/4;pi/2]

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно найти максимальное значение функции f(x) на промежутке [π/4, π/2].

Сначала посмотрим на границы данного промежутка: x = π/4 и x = π/2.

Подставим эти значения в функцию: f(π/4) = sin²(π/4) + cos(π/4) = (1/2)² + (√2/2) = 1/4 + √2/2 ≈ 0,678 f(π/2) = sin²(π/2) + cos(π/2) = 1² + 0 = 1

Теперь посмотрим на значения функции внутри промежутка [π/4, π/2].

Найдем производную функции f(x): f'(x) = 2sin(x)cos(x) - sin(x)

Приравняем ее к нулю: 2sin(x)cos(x) - sin(x) = 0

Вынесем sin(x) за скобку: sin(x)(2cos(x) - 1) = 0

Имеем два возможных решения:

1. sin(x) = 0, откуда x = 0 или x = π (но это значение не входит в исследуемый промежуток)
2. 2cos(x) - 1 = 0, откуда cos(x) = 1/2. Это решение дает нам x = π/3.

Таким образом, у нас есть три критические точки, в которых может достигаться максимальное значение: x = π/4, x = π/2 и x = π/3.

Подставим эти значения в функцию: f(π/4) ≈ 0,678 f(π/2) = 1 f(π/3) = sin²(π/3) + cos(π/3) = (√3/2)² + 1/2 = 3/4 + 1/2 = 5/4 = 1,25

Таким образом, на промежутке [π/4, π/2] максимальное значение функции f(x) равно 1,25 и достигается при x = π/3.